к.т.н. Сотникова Л.Ф.

Институт водных проблем РАН, г. Москва

Оценка расчетных значений максимального стока в условиях генетической неоднородности его формирования.

При всех требованиях, предъявляемых к гидрологической информации, необходимо учитывать региональные особенности рассматриваемого района, отражающие однородность факторов формирования стока.

Определение гидрологических характеристик при расчетах стока предусматривает решение трех вида задач: выбор расчетной обеспеченности, порядок определения расходов, связанный с типом функции распределения вероятностей и методом оценки ее статистических параметров, а также оценка точности результатов расчета. Рассмотрим последовательно решение этих задач применительно к расчетам характеристик экстремального стока. В табл. 1 приведено сравнение наиболее применяемых распределений при соответствующем выборе параметров для расчетов максимального стока.

Таблица 1 Типы кривых распределения стока

Тип кривой	Параметры	Обеспеченность, %
		0,01	0,1	1	10	20	50	80	95	99
Кривая Гумбеля	Сv=0,38 (Cs=1,14)	3,56	2,88	2,19	1,50	1,27	0,938	0,688	0,505	0,376
Логнормальная кривая	Сv=0,38	3,76	2,97	2,20	1,50	1,27	0,936	0,688	0,507	0,396
3-х параметр. гамма-распределение	Cs=3 Сv	2,98	2,98	2,19	1,50	1,28	0,936	0,685	0,507	0,392

Из этого сравнения видно, что расхождения в значении ординат существуют только на концах кривых, т.е. именно в зонах оценивания экстремальных значений рядов. Наши исследования Г-распределения с оценкой третьего параметра, а именно Сs, на предмет соответствия его фактическому материалу наблюдений показали хорошее совпадение.

Cледует помнить, что неполное соответствие теоретической кривой обеспеченности натурному материалу или отклонение от теоретической кривой некоторых точек наблюденного ряда при современной его длительности еще не означает несоответствия этой кривой наблюдениям. Гидрологические ряды представляют собой в статистическом смысле выборки из генеральной совокупности, истинные параметры которой неизвестны, а выборочные кривые распределения есть лишь некоторое приближение к истинным кривым. Стремление от наблюденных значений исходит из представления, что обе координаты точек (расход воды Q и обеспеченность Р, %) жестко закреплены, как это свойственно зависимостям между величинами, обе координаты которых установлены посредством измерений. Однако при построении кривых обеспеченности закреплены измерениями лишь ординаты наблюденных точек – значения расходов воды. Абсциссы их вероятности превышения устанавливаются по порядковому номеру исследуемых величин в ранжированной последовательности. По мере накопления данных наблюдений положение точек по оси абсцисс меняется.

Представление о возможном размере отклонений вероятности превышения крайних членов выборок р относительно вероятности превышения Р дает анализ кривых вероятности вероятностей превышения . Если Р представляет доверительную вероятность превышения, тогда р – ежегодная вероятность превышения наблюденных за n лет максимум-максиморум. [1,2]. Придавая вероятности Р% нормативные значения (например, 5% или 95 %), получаем возможность установить доверительные границы вероятных колебаний «истинной» повторяемости максимум-максиморум (см. табл. 2). Чтобы напомнить о возможных отклонениях абсцисс экстремальных точек гидрологического ряда от их «истинного «положения» рекомендуется при нанесении на кривую обеспеченности эмпирических точек дополнить изображение наивысших из них чертой, показывающей границы доверительного интервала.

Таблица 2. Величины отклонений вероятности превышения первого члена (Р%) ранжированного ряда в зависимости от периода наблюдений (n)

n Р%	10	20	25	30	50	60	70	75	80	90	100
5	0,5	0,27	0,23	0,20	0,10	0,09	0,08	0,07	0,06	0,05	0,03
95	24,2	13,4	11,3	9,8	6,0	4,3	3,7	3,3	3,0	1,6	–

Для расчета максимальных расходов воды редкой вероятности превышения заслуживают внимания такие приемы и математические средства, которые наилучшим образом используют наиболее ценную часть имеющейся информации, а именно, данные наблюдений за высоким стоком. Одним из таких приемов является применение усеченных распределений. Сущность усечения кривой распределения состоит в том, что из численного анализа исключается определенный интервал колебания признака и требуется по данным наблюдений в оставшемся интервале построить часть полного распределения, т. е. усеченное распределение.

Применительно к расчету максимального стока, например, используется лишь верхняя часть ряда наблюдений, расположенного в убывающем порядке, и исключаются из рассмотрения численные значения нижней части ряда. Обоснованием служит тот факт, что под воздействием ряда причин максимальный сток в маловодные годы формируется в существенно иных условиях, чем в годы, обильные водой. Можно предположить, что сведения о режиме маловодных лет содержат мало информации, которая способствовала бы уточнения оценки распределения вероятностей высоких половодий и паводков. Используя для построения теоретической кривой распределения значения параметров, вычисленные по всему ряду наблюдений, мы тем самым требуем, чтобы эта кривая наилучшим образом описывала колебания наблюдаемых максимумов в среднем во всем интервале вероятностей превышения, в том числе и в нижней ее части. А это в ряде случаев ведет к тому, что, принимая в расчет низкие паводки и половодья, мы ухудшаем соответствие теоретической кривой эмпирическим данным в зоне малых вероятностей превышения. Отсюда вытекает вывод, что для расчета максимальных расходов воды редкой вероятности превышения заслуживают внимания такие приемы и математические средства, которые наилучшим образом используют наиболее ценную часть имеющейся информации – данные наблюдений за высоким стоком. Одним из таких приемов является применение усеченных распределения.

Специально поставленный численный эксперимент подтвердил целесообразность применения усеченных распределений. Смоделировано было аномальное распределение с параметрами для зоны малой обеспеченности P 20%, X=2,0; Cv=1,0; Cs=2Cv и для зоны обеспеченности от 20 до 100% с параметрами: X-0,5: Cv=0,1 и Cs=2Cv. Итоговая кривая получилась с параметрами: Х=0.78; Cv=0,67 и Cs=13Cv .С этой кривой сопоставлялись теоретические выборочные кривые :1) полная гамма-кривая; 2) трехпараметрическая кривая с Cs=4Cv (по рекомендуемым нормативам); 3) усеченная гамма-кривая (2). Показано, что в зоне малой вероятности превышения ближе других к исходной кривой, принятой за эталон. Таким образом, в условиях неоднородности исходной информации, которая выражается численно в большой асимметрии ряда, усеченный вариант гамма-кривой дает большее приближение к асимметричному составному распределению, чем полная кривая. Однако, увеличивая асимметрию, можно было бы добиться лучшего соответствия эталону. Можно полагать, что прием усечения теоретически уместен в тех случаях, когда асимметрия исходного ряда превосходит величины, для которых разработаны расчетные таблицы ординат кривых обеспеченности.

Исследования различных условий формирования высокого стока [2] для применения усеченного гамма-распределения выявило, что наибольшая целесообразность применения этой методики существует для разных районов России.Так, при анализе водного режима рек Прибалтики отмечается, что в формировании весеннего половодья кроме талых вод участвуют и дожди. Основная доля стока по 24 рассмотренным рекам этого района формируется талыми водами (до 59-84%). Однако, в отдельные годы доля дождевого стока повышается до 55%. Детальный анализ данных по формированию максимумов весной показал, что высокие катастрофические паводки на реках района образуются при условии совпадения больших запасов воды в снеге и дружного снеготаянии с выпадением обильных дождей в период весеннего половодья. Такой анализ проведен для максимумов ранжированного ряда. Из совместного анализа рядов максимальных расходов и осадков выявлено, что максимальные расходы верхней половины ранжированного ряда формируются при прохождении в период половодья пика дождевых осадков, т.е. происходит наложение дождевых осадков на пик талого стока. Учитывая это обстоятельство, можно сделать вывод, что однородность происхождения максимального стока верхней и нижней частей ранжированной выборки максимального стока нарушается, а, следовательно, обычные методические приемы в оценке вероятностей максимального стока, не подходят. В этих условиях следует отсекать макисимумы нижней части ранжированной выборки, сформированные талыми водами, от максимумов верхней половины ранжированной выборки, сформированных наложением дождевого питания на снеговое, и применить усеченное гамма-распределение к расчетам максимального стока весеннего половодья на реках Прибалтики.

При применении усеченного распределения безусловно, имеется некоторая потеря в точности расчетных значений за счет уменьшения длительности ряда вдвое, но не в два раза [2,3]. Ошибки параметров и квантилей полного и усеченного распределений получены метом статистических испытаний. Так, например, для случая Сv=0,5 и Cs=2Cv среднее значение параметра изменчивости для полного распределения при оценке его методом наибольшего правдоподобия получается величина 0,49, а для усеченного варианта – 0,48. Однако растет случайная ошибка этого параметра, а именно с 0,047 до 0,081. Для случая при выборках из генеральной совокупности с Cv=1,0 и Cs=2 Cv соответственно получаем Cv=0,98, а при усечении Cv=0,96. Случайная ошибка изменяется при этом с 0,085 до 0,174. Несколько проигрывая в точности расчета, применение усеченного распределения позволяет наиболее правильно отразить условия формирования высоких и низких паводков и половодий, приводит в наилучшее соответствие теоретическую кривую распределения вероятностей с фактическими данными наблюдений в зоне высоких максимумов. В конечном счете, использование усеченных распределений дает возможность наиболее обоснованно подойти к назначению величин максимумов расчетной вероятности превышения.

Литература

1. Определение основных расчётных гидрологических характеристик. СП 33-101-2003. М, Госстрой России, 2004 г.

2. Сотникова Л.Ф. К исследованию приемов вероятностного расчета максимальных расходов воды //Сб. Изучение и оптимальное использования водных ресурсов. София, 1981. C.77-102.

3. Блохинов Е.Г. Усеченные распределения вероятностей для расчета максимального стока рек // Сб. Проблемы изучения и комплексного использования водных ресурсов. М., Наука. 1973, C. 30-35.