Математика/3. Теория вероятностей и математическая статистика

Егармин П.А., Егармина Л.В., Шароглазов А.В.

Сибирский государственный технологический университет

Лесосибирский филиал, Россия

Статистическое изучение связей между явлениями
методами корреляционного и регрессионного анализа

Исследование зависимостей и взаимосвязей между объективно существующими явлениями и процессами играет значительную роль во многих науках. Оно позволяет глубже понять механизм причинно-следственных отношений. В настоящее время важно уметь количественно измерить тесноту причинно-следственных связей. Для исследования связей между процессами и явлениями широко применяется корреляционный и регрессионный анализ.

Цель работы – на основе изучения и обобщения статистических методов корреляционного и регрессионного анализа исследовать зависимость уровня успеваемости школьников от класса обучения.

Задачи:

- осуществить сбор статистической информации об уровне успеваемости учеников 10 класса МОУ “СОШ №11” г. Лесосибирска на протяжении всех лет обучения (с 1 по 10 классы);

- выполнить статистическую обработку информации, используя методы корреляционного и регрессионного анализа;

- оценить адекватность результата и его практическое использование.

В исследовании принимала участие параллель 9 классов (46 человек) 2005-2006 учебного года МОУ “СОШ №11” г. Лесосибирска.

На первом этапе исследования была составлена предварительная статистическая совокупность: для каждого ученика 9 класса был рассчитан средний годовой балл на протяжении всех лет обучения. Результаты отражены в таблице 1.

На втором этапе был рассчитан средний балл всех учеников за 1, 2…, 9 класс и получена корреляционная зависимость между факторным признаком (х) – класс обучения и результативным признаком (у) – средний балл обучения (успеваемость). Результаты представлены в таблице 2.

Таблица 1 – Расчетные данные

№	Ученик	Средний балл обучения (с 1 по 9 класс)
		1	2	3	5	6	7	8	9
1	Балдин Д.	4,57	3,625	4,25	3,636	4	3,467	3,313	3,2
2	Ботнарь К.	3,5	3,875	3,75	3,727	4	3,467	3,47	3
3	Белоусов Т.	3,875	3,875	4,125	4,091	4,077	3,733	3,438	3,067
4	Бортникова М.	5	4,889	5	4,909	4,538	4,667	4,733	4,467
5	Васильева Т.	4,455	4,455	4,4	4,455	4,583	4,733	4,625	4,867
6	Герасимов М.	4,857	4,857	4,857	5	4,846	5	5	4,933
7	Гарманов А.	4	4,2	3,857	3,3	3,333	3,2	3,2	3
8	Дроботова Н.	4,571	4,5	4,375	4,182	4,077	3,733	3,875	3,067
9	Долгошеева А.	4,429	4,429	4,429	4,5	4,077	4,133	4,176	4
10	Ефимов Д.	3,286	3,556	3,333	3,4	3,583	3,357	3,375	3
11	Зырянова Е.	4,857	4,625	4,5	4,727	4,615	4,786	4,733	4,4
12	Захарова М.	4,6	4,6	4,7	4,727	4,364	4,2	4,235	4,133
13	Иванов В.	4,429	4,5	4,25	4,091	4,077	3,333	3,176	3,333
14	Исаев Ю.	4	3,75	3,556	3,636	3,615	3,867	3,882	3,4
15	Капитонов С.	4,143	4,5	3,75	3,909	4	3,733	3,529	3,2
16	Моисеева К.	4,714	4,429	4,571	4,636	4,308	3,933	3,824	3,643
17	Матронина К.	4,857	4,875	5	5	5	5	5	4,867
18	Степуро Т.	5	5	5	5	5	5	5	4,933
19	Сундетов Н.	4	3,75	3,778	3,455	3,231	3,133	3,353	3
20	Ушакова В.	4,714	4,5	4,5	4,636	4,231	3,733	3,824	3,333
21	Филимонов И.	4,571	4,5	4,625	4,545	4,167	3,933	3,933	3,214
22	Хабибуллин И.	4,286	4,125	3,875	3,818	3,462	3,333	3,313	3
23	Чемисов А.	4,57	4,429	4,143	4,273	4,231	4,2	4,294	4
24	Шевченко О.	4,75	4,5	4,625	4,364	4,231	4,267	4,25	4,133
25	Шароглазов А.	4,714	4,75	4,75	5	5	5	5	5
26	Щербаков И.	4,571	3,75	3,625	3,364	3,231	3,2	3,313	3,067
27	Дитковская А.	4,286	4,5	4,125	4,091	4,154	4,067	4,235	3,533
28	Меркулов А.	4,857	4,75	4,375	4,091	4,231	4,067	4,125	3,733
29	Бондаренко Н.	4,143	3,625	3,625	3,727	3,308	3,267	3,294	3,133
30	Бондаренко Ю.	4,571	4,375	4,5	4,364	4,417	4,286	4,412	4,067
31	Звягинцев А.	4,222	4,25	4,375	4,091	4	4,067	4,176	3,933
32	Кайсина Н.	4,333	4,5	4,125	4,273	3,846	3,929	3,688	3,071
33	Козлов А.	4,333	4,25	4	3,909	3,615	3,8	3,588	3,333
34	Капитан М.	3,857	4	3	3,583	3,385	3,133	3,117	2,667
35	Коробейников С.	4	4,167	4,125	3,636	3,462	3,4	3,706	3,2
36	Каверзин А.	3,625	3,625	3,625	3,4	3,308	3,2	3,353	3,2
37	Лозовская Н.	3,833	4	3,714	3,818	3,692	3,867	4	3,667
38	Мухаметшин Р.	4,667	4,625	4,625	3,909	4,154	3,867	3,823	3,467
39	Нехорошев Д.	3,5	3,375	3,5	3,455	3,308	3,067	3,353	3,133
40	Раченко А.	3,75	3,875	4	4	3,846	3,4	3,294	3
41	Тимук Д.	4	4	4,222	3,364	4,538	3,467	3,765	3,533
42	Филимонова Т.	4,5	4,375	4,375	4,091	4	4,267	4,125	3,267
43	Черноусов Г.	5	4,875	4,375	3,923	3,769	4,071	4,294	4,133
44	Шарафутдинова Д.	4,286	4,375	4,125	4,091	4,083	3,692	3,867	3,2
45	Юсупов Р.	3,833	3,75	3,625	3,364	3,538	3,333	3,294	3

Таблица 2 – Средний балл учеников

x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
y	4,317	4,256	4,170	-	4,064	3,999	3,863	3,888	3,581

Рисунок 1 - Зависимость среднего балла учеников от класса обучения

На третьем этапе был рассчитан показатель тесноты корреляционной связи – линейный коэффициент корреляции r = -0,958. Согласно которому связь между изучаемыми явлениями является обратной, сильной.

На следующем этапе было составлено уравнение регрессии для рассматриваемой корреляционной зависимости. Согласно графической интерпретации результатов исследования (рисунок 1) для математического описания статистической зависимости необходимо воспользоваться линейным уравнением регрессии: . Уравнение регрессионной модели для нашего случая примет вид:.

Далее была построена статистическая таблица, в которой указаны значения факторного признака х (класс обучения), эмпирические значения результативного признака y, теоретические значения результативного признака у. Кроме того, в таблицу были добавлены результаты успеваемости за 1 полугодие 10 класса и спрогнозирована успеваемость школьников на 10,11 классы обучения.

Таблица 3 – Практическое использование построенной модели

х	y (эмпирические)	у (теоретические)
1	4,317	4,346
2	4,256	4,267
3	4,170	4,188
5	4,064	4,030
6	3,999	3,954
7	3,863	3,872
8	3,888	3,793
9	3,581	3,714
10	3,894	3,635
11		3,556

Рисунок 2 - Эмпирическая и теоретическая линии регрессии

Результаты показывают, что с 1 по 9 класс эмпирические и теоретические данные очень близки, достаточно большое расхождение наблюдается по данным за 10 класс. Это связано с тем, что число учеников, принимавших участие в эксперименте, сократилось с 45 до 20 человек, обучение в 10 классе продолжили школьники со средними и высокими способностями.

Таким образом, в нашем исследовании мы изучили статистический метод корреляционного и регрессионного анализа, обобщили его и исследовали зависимость уровня успеваемости школьников от класса обучения (с увеличением класса обучения успеваемость школьников снижается). Результаты исследования могут быть использованы в своей работе педагогами, администрацией школы, родителями и учениками.

Список литературы

1. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов. – Изд. 7-е. – М.: Высш. шк., 2001. – 479 с.

2. Гусаров В. М. Статистика: Учеб. пособие для вузов. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002. – 463 с.

3. Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. И.И. Елисеевой. – 4-е изд. – М.: Финансы и статистика, 2001. – 480 с.

4. Ефимова М. Р., Ганченко О. И., Петрова Е. В. Практикум по общей теории статистики: Учеб. пособие. – М.: Финансы и статистика, 2000. – 280 с.