Л. А. Янкина

МГПИ им. М. Е. Евсевьева, каф. методики начального образования

Возможности развития логического мышления студентов при обучении математике

Формирование и развитие культуры мышления всегда было и является целью обучения как в школе, так и в вузе. Особенно плодотворно развитие логического мышления осуществляется при обучении математике, ведь ее особенность, как науки, в том, что здесь логические формы и отношения присутствуют наиболее четко.

Формирование логической грамотности, как необходимой составляющей культуры мышления, начинается в дошкольном и школьном возрасте. Овладение определенным минимумом логических понятий и действий обеспечивает развитие логического мышления.

При изучении математики школьники встречаются с различными логическими понятиями и действиями: определение понятия, классификация понятий, логические связки и отношения и др. Однако обобщенные знания об основных логических понятиях и действиях не всегда присутствуют в школьном курсе математики в явном виде. Необходима систематическая работа над логическими понятиями, выяснение их смысла и правил употребления, что, несомненно, будет способствовать упрочению логической грамотности учащегося.

В курсе математики на педагогическом факультете изучается раздел «Математические утверждения и их структура», включающий сведения о различных формах мышления (понятиях, суждениях, умозаключениях). Здесь рассматриваются понятия, с помощью которых уточняется смысл употребляемых как в математике, так и в естественном языке, союзов «и», «или», частицы «не», слов «всякий», «существует», «следовательно», «равносильно» и др. Незнание логического смысла этих слов порождает ошибки при их использовании, в то время как целенаправленное изучение их логического смысла и правил применения позволит избежать ошибок.

При обучении логическим понятиям и действиям необходимо показывать их связь с изученным в школьном или вузовском курсе материалом. Так, примерами высказываний (предложений, о которых можно сказать, истинны они или ложны) служат равенства и неравенства, левые и правые части которых представляют собой числовые выражения, имеющие смысл: 6 - 2=4, 3² > 8 (истинные), 5·3 = 12, 24 : 6 < 0 (ложные). А примером высказывательной формы или предиката (предложения с переменной, обращающегося в высказывание при подстановке в него значений переменной из некоторого множества) является уравнение или неравенство с переменной: х + 5 = 8, х² < 9. Если в уравнение (неравенство) с одной переменной подставить вместо переменной такое ее значение, при котором обе части уравнения (неравенства) имеют смысл, то получится числовое равенство (неравенство), истинное или ложное. Аналогично и с уравнениями (неравенствами) с несколькими переменными (здесь вместо переменных подставляются пары, тройки и т.д. значений).

Как известно, для предиката определяют его множество истинности – множество таких значений переменной, при которых предикат превращается в истинное высказывание. А значение переменной, при котором уравнение (неравенство) обращается в истинное числовое равенство (неравенство), называется его решением. Решить уравнение – значит найти множество его решений, то есть, говоря языком логики, найти множество истинности предиката.

Следует обратить внимание на соответствие между логическими связками «и» и «или» (конъюнкции и дизъюнкции) и пересечения и объединения множеств. С одной стороны, эта связь видна в определениях пересечения и объединения множеств: пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и множеству В; объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А или множеству В.

С другой стороны, множество истинности конъюнкции предикатов А(х)ÙВ(х) есть пересечение множеств истинности предикатов А(х) и В(х): Т _АÙВ = Т_АÇТ_В. А множество истинности дизъюнкции предикатов А(х) Ú В(х) есть объединение множеств истинности предикатов А(х) и В(х): Т _АÙВ = Т_АÈТ_В.

Эта связь наблюдается и при рассмотрении систем и совокупностей уравнений и неравенств с переменными. Так, система уравнений или неравенств с переменными есть конъюнкция предложений с переменными (предикатов). Из условия истинности конъюнкции следует, что решение системы уравнений или неравенств – это такое значение переменной, которое каждое уравнение или неравенство системы обращает в истинное высказывание, то есть множество решений системы есть пересечение множеств решений, входящих в нее уравнений или неравенств.

Является конъюнкцией и двойное неравенство, а, следовательно, оно равносильно системе неравенств. Например,

3 < х < 8 Û

Уравнение = 0 сводится к системе уравнения f(х) = 0 и неравенства g(х) ≠ 0, то есть к конъюнкции двух предложений.

А совокупность уравнений или неравенств, с логической точки зрения, является дизъюнкцией предикатов. Из условия истинности дизъюнкции предикатов следует, что решение совокупности уравнений или неравенств – это такое значение переменной, при котором обращается в истинное высказывание хотя бы одно из уравнений (неравенств) совокупности, а другие уравнения (неравенства) имеют смысл. То есть множество решений совокупности есть объединение множеств решений уравнений или неравенств, входящих в совокупность.

Уравнение f₁(х) · f₂(х) · … · f_n(х) = 0 равносильно дизъюнкции предложений f₁(х) = 0, f₂(х) = 0, … , f_n(х) = 0. Дизъюнкцией является также нестрогое неравенство: х £ а. Оно равносильно совокупности неравенства х < а и равенства х = а.

С понятиями конъюнкции и дизъюнкции предикатов связано решение задач на распознавание объектов. В задачах на распознавание требуется ответить на вопрос: принадлежит тот или иной объект объему данного понятия или не принадлежит. Решают такие задачи, используя определение соответствующего понятия.

Если понятие а определено через родовое понятие b и видовое отличие Р, то его объем А можно представить в виде: А = {х| хÎВ и Р(х)}. Эта запись показывает, что характеристическое свойство элементов, принадлежащих объему понятия а, представляет собой конъюнкцию двух свойств: 1) принадлежности объекта х объему В родового понятия (хÎВ); 2) свойства Р(х).

Если видовое отличие представляет собой конъюнкцию свойств, то есть Р = Р₁ Ù Р₂ Ù … Ù Р_к, то проверяют поочередно наличие у объекта х каждого из свойств Р_i. Если объект не обладает каким-нибудь из этих свойств, то проверку прекращают и делают вывод о том, что объект не обладает свойством Р; если же все свойства Р_i присущи объекту х, то заключают, что объект обладает свойством Р. Примером определения, имеющего структуру конъюнкции, является определение биссектрисы угла: биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий этот угол пополам.

Если видовое отличие представляет собой дизъюнкцию свойств, то есть Р = Р₁ Ú Р₂ Ú … Ú Р_к, то проверку проводят до тех пор, пока не установят, что хотя бы одно из свойств присуще данному объекту. Если же объект не обладает ни одним из свойств Р_i, то значит, он не обладает свойством Р. Определением, имеющим дизъюнктивную структуру, является, например, определение неправильной дроби: неправильной дробью называется дробь, у которой числитель больше знаменателя или равен ему.

Понимание смысла конъюнкции и дизъюнкции и умение устанавливать их значение истинности способствует лучшему усвоению смысла кванторов (слов «каждый», «любой», «существует», «некоторые» и др.). Ведь предложения с квантором общности равносильны конъюнкции, а предложения с квантором существования – дизъюнкции. В этой связи полезными будут упражнения по переформулированию высказываний с кванторами в виде конъюнкции или дизъюнкции.

Логические отношения следования и равносильности также находят свое отражение в понятиях математического курса. Как известно, один предикат следует из другого, если множество истинности первого предиката является подмножеством множества истинности второго: А(х) Þ В(х) тогда и только тогда, когда Т_А Ì Т_В. Если же множества истинности предикатов совпадают, то предикаты равносильны. А поскольку уравнения и неравенства, как было отмечено выше, являются предикатами, то понятия следования и равносильности уравнений (неравенств) определяются аналогично. На этом основано решение уравнений и неравенств, а также систем уравнений или неравенств.

Итак, очевидно, что круг логических понятий и отношений, присутствующих в курсе математики, достаточно широк. Овладение логическими знаниями и умелое их использование на практике помогает будущему учителю разобраться в закономерностях и взаимосвязях явлений и процессов, а также способствует становлению самосознания, интеллектуальному развитию личности, формированию у него научного мировоззрения.