объектЫ повышенной опасности:

моделирование и оценка риска

¹Будылина Е.А., ²Гарькина И.А., ²Данилов А.М.

¹Московский государственный машиностроительный университет

²Пензенский государственный университет архитектуры и строительства

Рассматриваются проблемы математического моделирования тяжелых аварий на объектах повышенной опасности (атомные электростанции, объекты по хранению и уничтожению химического оружия, базы и арсеналы хранения обычных боеприпасов и др.). Как показал опыт работы [1] по оценке таких объектов, основой обоснования количественных требований к безопасности таких объектов может служить концепция Фармера-Расмуссена. В ее основе лежит функция риска

,

где - время; - управляемые параметры объекта, отражающие его функционирование; естественной является задача минимизации риска. Значения риска, полученные в процессе минимизации, не должны превышать значения приемлемого риска (минимальный риск при значениях ). При решении задач о «качестве» риска часто используется теория катастроф. Если отображение (функция) зависит от параметров , то говорят, что задано семейство отображений (функций). Если семейство изучается локально (здесь окрестность точки, где достигается минимальное значение риска), то при малом изменении параметров в окрестности фиксированных значений говорят о деформации (катастрофе) отображения, соответствующего этим значениям параметров.

Вместо функции риска естественно рассматривать некоторый нелинейный оператор , где - совокупность параметров ; - функция риска (неизвестная). Здесь являются параметрами не функции, а нелинейного оператора.

Вероятность возникновения аварий на объектах повышенного риска часто составляет не менее аварий в год. Значение приемлемого риска, отнесенное к количественной единице последствий, будет величиной достаточно малой (). Возникает возможность качественно, не решая нелинейного операторного уравнения, определить те значения параметров , при которых будут существовать решения , отличные от нуля (точки бифуркации нелинейного оператора ). На практике это означает скачкообразный переход объекта повышенного риска из нормального режима функционирования () в аварийное (при некоторых значениях управляющих параметров объекта). Такое математическое моделирование достаточно хорошо отображает грубые нарушения технологических процессов на объекте (человеческий фактор, террористические акты и др.). Если оператор непрерывно дифференцируем по Фреше, то в силу теоремы о неявной функции его точками бифуркации могут быть лишь те значения , при котором единица является точкой спектра оператора (производная Фреше в нулевой точке). Пусть , где - вполне непрерывный линейный оператор, не зависящий от . Если единица является собственным значением оператора , то является характеристическим числом оператора . Возникает вопрос, каждое ли характеристическое значение оператора является точкой бифуркации? Ответ дает принцип линеаризации, в соответствии с которым отыскание точек бифуркации сводится к определению характеристических значений линейного оператора . В основе принципа лежит утверждение: если вполне непрерывный оператор имеет в нулевой точке производную Фреше , то каждое нечетно кратное (в частности, простое) характеристическое значение оператора является точкой бифуркации оператора . Если характеристическое значение оператора имеет четную кратность, то требуется дополнительный анализ, использующий не только главную линейную часть оператора .

Известен пример эффективного использования указанного подхода для решения задач грозозащиты. Предполагалось, лидер молнии в электростатическом поле распространяется случайным образом (описывается марковским процессом). При этом переходные вероятности зависят от напряженности электростатического поля, интенсивности дождя, порывов ветра. При некоторых упрощениях (выделялись доминирующие физические явления) задача сводилась к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, решаемой совместно с системой нелинейных уравнений. Это позволило достаточно просто определить производные Фреше (вычислялись через разложения в обобщенный ряд Тейлора правых частей дифференциальных уравнений и нелинейных функций). Точки бифуркации - значения величин разрыва контура заземления в зафиксированных конструктивных местах. Задача нахождения точек бифуркации сводилась к вычислению собственных значений матрицы линейного оператора Фреше: если существует собственное значение матрицы, равное или близкое к нулю, то система грозозащиты устойчива к разрывам контура заземления, если не существует, то система защиты - аварийная.

Подход использовался при проектировании объекта по уничтожению химического оружия (пос.Леонидовка Пензенской области) и в задачах обеспечения безопасности арсеналов и баз хранения боеприпасов [1, 2].

Литература

1. Данилов А.М., Голованов О.А., Гарькина И.А., Лапшин Э.В. Управление безопасностью объектов повышенного риска. Труды международного симпозиума «Надежность и качество». - Пенза, 2005. - С.179-182.

2. Плющ А.А., Голованов О.А., Данилов А.М., Гарькина И.А. Обобщенная математическая модель управления безопасностью арсеналов и баз хранения боеприпасов / Вiсник Хмельницького нацiонального унiверситету. Технiчнi науки. - №1. 2007. –С.241-246.