Математика/4. Прикладная математика

К. ф.‑м. н. Карнаух Т.А.

КНУ им. Т. Шевченко, Украина

Возможность и псевдометрические пространства

Формализация методик оценки величины расстояния при условии невозможности вычислить данную характеристику алгоритмически является актуальной и важной задачей, которая и рассматривается в этой работе. Общий подход к формализации эвристик был начат еще в работах [1] и [2] введением понятия возможности. Тут рассматриваются формализации эвристик, которые возникают при решении специфических задач, а именно задач распознавания.

Задачи распознавания имеют определенную степень достоверности ответа, поэтому логично рассматривать возможность того, что объекты идентичны или находятся на определенном расстоянии. Приведенные соображения приводят к такому формализму, как метрическо-возможностное пространство.

В псевдометрическом пространстве (X, d) [3] введем возможность p:X´X´[0; +¥)®[0; 1], как оценку того, что расстояние между двумя точками пространства не превышает некоторого значения. Согласно нашей интерпретации возможности естественно требовать, чтобы для отображения p выполнялись такие условия.

— p(x, y, a) £ p(x, y, b), если a £ b.

Это условие означает монотонность возможности относительно расстояния, т.е. чем больше диапазон значений расстояния, тем больше его возможность.

— p(x, y, a) = p(y, x, a)

Это условие естественно вытекает из симметричности расстояния.

— p(x, y, d(x, y) ) = 1 (или p(x, y, d(x, y) ) > 0)

— p(x, y, a ) = 0 Þ d(x, y) > a

Эти два условия можно перефразировать так: истинное должно быть абсолютно возможным (или просто возможным), а невозможное должно быть ложным.

В то же время от аналога неравенства треугольника

p(x, z, a+b) ³ max{ p(x, y, a), p(y, z, b) }

следует отказаться, так как отношение «быть похожим» не транзитивно.

Замечание. Условие p(x, y, d(x, y) ) = 1 соответствует тому, что исследователь при приближенном вычислении расстояния склонен уменьшать искомое значение. Оценку расстояния, которое отвечает этому условию, в дальнейшем будем рассматривать как ультравозможность. Его можно заменить более слабым p(x, y, d(x, y)) > 0, которое дает больше возможностей для содержательной интерпретации разных «степеней» возможности, кроме двух абсолютных значений 0 и 1; т.е. позволяет более «тонко» настраивать оценку. В обоих случаях исследователь может завышать оценку расстояния, поэтому абсолютная возможность не свидетельствует об истинности.

Также можно рассматривать необходимость того, что расстояние между двумя точками пространства не превышает некоторого значения. Анализируя возможность и необходимость, делаем вывод, что необходимость должна отвечать всем условиям, которые накладываются на возможность, но еще естественно считать, что абсолютно необходимое (со значением необходимости 1) должно быть истинным. В этом случае для необходимости следует добавить условие n(x₁, x₂, a ) = 1 Þ d(x₁, x₂) £ a , которое хоть и требует более тщательного построения оценки, но полученная оценка способна качественно разделять уже не два случая, а три: точно ложное; точно истинное; возможно, что ложное, а возможно, что и истинное.

Замечание. Стратегию распознавания на основе ультравозможности можно считать «рискованной» в том смысле, что она имеет тенденцию отождествлять близкие между собой объекты. Необходимость — пример «осторожной» стратегии, когда значение реального расстояния завышается и некоторые пары на нулевом расстоянии в результате могут не отождествляться.

Формально, для псевдометрического пространства (X, d) отображение p:X´X´[0; +¥)®[0; 1], удовлетворяющее условиям:

1) условию монотонности относительно расстояния

"x, yÎX "a, bÎ[0; +¥) (a £ b ® p(x, y, a) £ p(x, y, b));

2) условию симметричности "x, yÎX "aÎ[0; +¥) p(x, y, a) = p(y, x, a);

3) "x, yÎX p(x, y, d(x, y) ) > 0,

будем называть возможностью в псевдометрическом пространстве (X, d) и говорить о метрическо-возможностном пространстве (X, d, p).

Ультравозможностью в псевдометрическом пространстве (X, d) будем называть возможность, для которой "x, yÎX p(x, y, d(x, y) ) = 1.

Необходимостью в псевдометрическом пространстве (X, d) будем называть возможность n, которая удовлетворяет условию

"x, yÎX "a³ 0 (n(x, y, a ) = 1 ® d(x, у) £ a ).

Возможность p и необходимость n будем называть согласованными, если для них выполняется соотношение: p(x₁, x₂, a) = 0 Þ n(x₁, x₂, a) = 0 .

Рассмотрим отображения p и n, заданные для всех x₁, x₂ÎX и a ³ 0 так:

p(x₁, x₂, a) = 1, если a/2 £ d(x₁, x₂);

p(x₁, x₂, a) = ½ , если a/2 < d(x₁, x₂) £ a;

p(x₁, x₂, a) = 0, если d(x₁, x₂) > a;

n(x₁, x₂, a) = 1, если d(x₁, x₂) £ a;

n(x₁, x₂, a) = 0, если d(x₁, x₂) > a.

Они оба являются одновременно возможностью и необходимостью в пространстве (X, d), при этом различны и согласованы между собой.

Литература:

1. Дюбуа Д. Теория возможностей. / Д.Дюбуа, А. Прад. – М.: Радио и связь, 1990. – 288 с.

2.  Пытьев Ю.П. Возможность. Элементы теории и применения / Ю.П. Пытьев. – М.:Едиториал УРСС, 2000. – 192 с.

3. Карнаух Т.О. Відстані в синтаксичних просторах / Т.О. Карнаух // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: фіз.-мат. науки. – 2012. – Вип. 2. – С. 134-139.