Технические науки/2. Механика

К.т.н. Гирнис С.Р., д.т.н. Украинец В.Н.,

Павлодарский государственный университет, Казахстан

Математическое моделирование динамического поведения тоннеля глубокого заложения при действии транспортных нагрузок

Задачи о действии подвижной осесимметричной нормальной нагрузки на тонкостенную и толстостенную круговую цилиндрическую оболочку в упругой среде рассматривались соответственно в статьях [1,2]. Данные задачи являются модельными при исследовании динамики тоннелей глубокого заложения, подкрепленных однородной (однослойной) круговой цилиндрической оболочкой (обделкой), под воздействием транспортных нагрузок (нагрузок от движущегося внутритоннельного транспорта). Однако использование такой модели подземного сооружения может быть ограничено, например, в случае, когда обделка выполнена из монолитной бетонной или сборной железобетонной (обжатой в породу) обделки, с внутренней облицовкой из стали, монолитного железобетона или набрызгбетона по металлической сетке. В этом случае конструкция обделки тоннеля должна рассматриваться в виде двухслойной оболочки, внутренним слоем которой является тонкостенная оболочка, а внешним – толстостенная оболочка. В настоящей работе построена математическая модель динамики тоннеля глубокого заложения, подкрепленного двухслойной круговой обделкой с толстым наружным и тонким внутренним слоями, под воздействием транспортной нагрузки.

В качестве расчетной схемы тоннеля рассмотрим цилиндрическую полость радиусом , расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном пространстве (массиве). Полость подкреплена двухслойной оболочкой, внутренним слоем которой является тонкостенная оболочка толщиной и радиусом срединной поверхности , а наружным – толстостенная оболочка. В силу малости толщины внутреннего слоя можно принять, что он контактирует с наружным слоем вдоль своей срединной поверхности. Контакт между слоями оболочки, а также контакт между оболочкой и окружающим её массивом будем полагать либо жёстким, либо скользящим при двусторонней связи в радиальном направлении. Условимся внутренний слой оболочки называть несущим слоем, а наружный – ограждающим слоем. По внутренней поверхности оболочки в направлении ее оси с постоянной скоростью (меньшей, чем скорости распространения волн сдвига в ограждающем слое и массиве) движется нагрузка .

Для описания движения несущего слоя оболочки воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек (1), а для описания движения ограждающего слоя и массива – динамическими уравнениями теории упругости (2):

(1)

,

где , , – перемещения точек срединной поверхности несущего слоя в направлении осей цилиндрической системы координат , , ; , , – составляющие интенсивности подвижной нагрузки ; – составляющие реакции ограждающего слоя, – компоненты тензора напряжений во ограждающем слое (); – соответственно коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность материала несущего слоя; – оператор Лапласа; R = R₂;

. (2)

Здесь и в дальнейшем индекс 1 относится к массиву, а 2 – к ограждающему слою оболочки; , – модули сдвига, – коэффициенты Пуассона, – плотности, – векторы смещений точек массива и ограждающего слоя.

Так как рассматривается установившийся процесс, то картина деформаций стационарна по отношению к движущейся нагрузке. Поэтому можно перейти к связанной с нагрузкой подвижной системе координат

Тогда уравнения (1), (2) перепишутся в виде:

,

, (3)

, (4)

где – числа Маха; , –скорости распространения волн расширения – сжатия и сдвига в массиве и ограждающем слое оболочки.

Выражая векторы смещений через потенциалы Ламе

,

преобразуем уравнения (4) к виду

. (5)

Здесь .

Применив к (5) преобразование Фурье по , находим

, (6)

где – двумерный оператор Лапласа, , .

Выразив компоненты напряжённо-деформированного состояния массива и ограждающего слоя оболочки через потенциалы Ламе и применив преобразование Фурье по , можно получить выражения для трансформант напряжений и перемещений () в цилиндрической системе координат как функции от .

Так как скорость движения нагрузки меньше, чем скорости распространения волн сдвига во наружном слое оболочки и массиве, то и решения (6) можно представить в виде:

- для массива

, (7,а)

- для ограждающего слоя оболочки

. (7,б)

Здесь , ; – функции Бесселя первого и второго рода от мнимого аргумента, – неизвестные коэффициенты, подлежащие определению.

Применив к (3) преобразование Фурье по и разлагая функции перемещений точек срединной поверхности несущего слоя оболочки и нагрузок в ряды Фурье по , для -го члена разложения получим

(8)

,

где

(при ), , соответственно коэффициенты разложения и в ряды Фурье по угловой координате .

Разрешая (8) относительно , , , находим

(9)

.

Здесь

,

для и индекс соответствует индексу , – , – .

Для определения коэффициентов воспользуемся, в зависимости от условия сопряжения слоев оболочки и ее контакта с массивом, следующими граничными условиями с учётом (7,а), (7,б) и (9):

а) при жестком сопряжении слоев оболочки:

- в случае скользящего контакта оболочки с массивом

при , , , , , ,

при , ,

- в случае жёсткого контакта оболочки с массивом

при , ,

при , ;

б) при скользящем контакте слоев оболочки:

- в случае скользящего контакта оболочки с массивом

при , , , , , ,

при , , ,

- в случае жёсткого контакта оболочки с массивом

при , ,

при , , , .

Приравнивания коэффициенты рядов Фурье-Бесселя при , получим бесконечную систему линейных алгебраических уравнений для определения коэффициентов. После определения коэффициентов , применяя обратное преобразование Фурье, можно вычислить компоненты напряженно-деформированного состояния массива и ограждающего слоя оболочки. При этом для вычисления интегралов Фурье можно использовать любой численный метод, если определитель полученной для конкретных граничных условий системы уравнений не обращается в ноль. В общем случае для любых аналитическое исследование затруднительно. Численные исследования в задачах о движущейся вдоль оси подкреплённой полости осесимметричной нормальной нагрузке в упругом пространстве [1-3] показали, что может существовать дозвуковая критическая скорость , при которой в двух точках

.

При существуют четыре особые точки , в которых

.

В этих случаях, как доказано в [3], нарушены условия единственности решения, что можно трактовать как неустойчивость. При переходе через появляется класс решений, содержащий незатухающие гармонические поверхностные волны. Амплитуда этих волн зависит от действующей нагрузки, постоянна вдоль оси и экспоненциально затухает при .

При для любых . В этом случае допустимо прямое и обратное преобразование Фурье и полученные соотношения решают поставленную задачу.

Литература

1. Пожуев В.И. Действие подвижной нагрузки на цилиндрическую оболочку в упругой среде // Строительная механика и расчет сооружений. – 1978. – № 1. – С. 44-48.

2. Львовский В.М., Онищенко В.И., Пожуев В.И. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки // Сб.: Вопросы прочности пластичности. – Днепропетровск, 1974. – С. 98-110.

3. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – № 4. – С.156-161.

Работа выполнена при поддержке гранта 0898/ГФ2, 0112РК02221 МОН РК.