Математика/5.Математическое моделирование   

Н.С.Ибрагимов

Бакинский Государственный Университет

Необходимое условие в задаче идентификации

для нестационарного уравнения квазиоптики

Аннотация:          В данной работе изучается вопрос необходимого условия в   задаче  идентификации  об  определении  комплекснозначного коэффициента нестационарного  уравнения квазиоптики. При  этом  доказан принцип максимума Понтрягина и необходимое условие в виде вариационного неравенмтва.

Ключевые слова: Уравнения квазиоптики, задача идентификации,  принципа максимума Понтрягина.

Введение

         Задачи идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики часто возникают в нелинейной оптике при изучении процессов распространения светового пучка в неоднородной среде, в которых неизвестными функциями обычно являются показатели преломления и поглощения среды, а также начальная фаза излученной волны [1]. Отметим, что ранее задачи идентификации об определении фазы излученной волны для стационарного уравнения квазиоптики изучены, например, в работах [1,2] и др, а задачи идентификации об определении вещественнозначного коэффициента, то есть коэффициента преломления среды в стационарном уравнении квазиоптики, другими словами, в нестационарном уравнении Шредингера ранее исследованы, например, в работах [3-7] и др.

         В данной работе изучается вопрос необходимых условий типа принципа максимума Понтрягина и вариационного неравенства в  задаче идентификации об определении комплекснозначного коэффициента нестационарного уравнения квазиоптики. Следует отметить, что подобный вопрос относительно  задачи идентификации для нестационарного уравнения квазиоптики впервые был изучен в работе [8]. Однако настоящая задача по постановке и по классу решений отличается от задачи из [8].

                                            Постановка задачи.     

         Пусть –ограниченная область - мерного евклидова пространства - граница области , которая предполагается достаточно  гладкой, например,  -заданные числа,  -произвольная точка области , , ,, , ;  -банахово пространство, состоящее из всех определенных и  раз непрерывно дифференцируемых функций на отрезке  со значениями в банаховом пространстве - лебегово пространство функций, суммируемых в области  со степенью -соболевы пространства, которые определены, например, в [9];  -гильбертово пространство, состоящее из всех элементов  из , имеющих  из пространства , скалярное произведение и  норма в нем определяются равенствами:

-гильбертово пространство, состоящее из всех элементов  пространства  имеющих обобщенные производные  из пространства . Скалярное произведение и норма в нем определяются равенствами:

  ;  символ  означает «при почти всех».

          Рассмотрим задачу идентификации о минимизации функционала:

                       (1)

на множестве    при условиях

    ,  (2)                                     

,                                       (3)

,                                               (4)

,                                       (5)                                                     

где  -мнимая единица, -внешняя нормаль границы,  -волновая функция;   заданные   числа, такие, что , - заданные   функции, удовлетворяющие условиям:

           С,  ;                 (6)

;                          (7)

                             (8)

,,-заданные комплекснозначные функции, удовлетворяющие  условиям:

                                , , ,

                                 ,   ;                                  (9)

-заданный элемент, .

         При каждом  задачу об определении функции  из условий  (2)-(5) будем называть прямой задачей для нестационарного уравнения квазиоптики (2). Под решением прямой задачи  будем понимать функцию  из пространства , удовлетворяющую условиям   (2)-(5) для почти всех . Прямая задача  (2)-(5)  ранее была изучена в работе [10] и доказана:

         Теорема 1. Пусть функции    удовлетворяют условиям (6)-(9) соответственно. Тогда прямая задача  (2)-(5) при каждом  имеет единственное решение из пространства   и для этого решения справедлива оценка:

.                     (10)

          Используя эту теорему и методику работ [3-7] можно доказать и следующее утверждение:

          Теорем 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Пусть кроме того, функции ,  удовлетворяют условиям (9), а - заданный элемент. Тогда  задача идентификации (1)-(5) имеет хотя бы одно решение.         

                     2. Необходимое условие типа принципа максимума

                                Понтрягина и вариационнго неравенства.   

          В этом разделе будем изучить вопрос необходимого условия для решения задачи идентификации (1)-(5). Пусть  является решением следующей сопряженной задачи:

        (11)    

  ,                              (12)

,                            (13)

        ,                                 (14)

где   - решение прямой задачи при  .

         Под решением сопряженной задачи будем понимать функцию  из , удовлетворяющую  тождеству:

                             (15)             

для любой функции , удовлетворяющей условию .

         С помощью замены  сопряженную задачу (11)-(14) можно свести к начально-краевой задаче, которая  является задачей типа комплексно сопряженной прямой задачи (2)-(5). Поэтому, используя методику сглаживания данных [9] и теорему 1, можем установить справедливость утверждения  о том, что сопряженная задача (11)-(14) имеет единственное решение из пространства  и справедлива оценка:

                        (16)

для   .                     

          Введем функцию:

                 

              ,             (17)

которую будем называть функцией Гамильтона-Понтрягина для задачи идентификации (1)-(5). Здесь .

           Рассмотрим приращение функционала (1) на любом элементе . Используя (1), приращение функционала можно представить в виде:

                         

        

        ,      (18)

, где   -приращение любого элемента   такое, , ;   . Ясно, что функция  является решением следующей начально-краевой задачи:

  

            ,   (19)

   ,           (20)

для решения которой справедлива оценка:

      ,.  (21)                               

          Для преобразования приращения функционала в дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утверждение:

          Лемма 1. Справедливо соотношение:

                                    

                                                                                                        

              

          .    (22)

          Доказательство этой леммы проводится с помощью сопряженной задачи (11)-(14) и начально-краевой задачи (19),(20)  .                   

          Используя аналог этой леммы, понятие квазисопряженной системы и методику Плотникова В.И. [11], можем доказать необходимое условие в виде приципа максимума Понтрягина Л.С. [12]:

          Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Для того, чтобы  была решением задачи (1)-(5) необходимо выполнение условия:

                   (23)

для почти всех , где ,- соответственно решения прямой  и сопряженной задач  при .

          Теперь укажем необходимое условие в виде вариационого неравенства. С этой целью установим дифференцируемость функционала (1). Используя формулу (18) для прирашения функционала и лемму 1, можем доказать следующее утверждение:

          Теорема 4. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда функционал  дифференцируем по Фреше на множестве и для его градиента  справедлива формула:

                                                 ,                                                    (24)

где    - функция Гамильтона-Понтрягина.

          С помощью этой теоремы  и  известной теоремы из работы [13, стр. 28] можем установить необходимое условие в виде вариационого неравенства:

          Теорема 5. Пусть выполнены условия теоремы 4. Пусть, кроме того,   является любым решением задачи идентификации (1)-(5). Тогда для любого    справедливо неравенство:

                                           

              ,          (25)

где  , - решения прямой и сопряженной задач при .      

                                                           Литература

1. Воронцов М.А., Шмальгаузен И.И. Принципы адаптивной оптики. М.:   Наука, 1985. -335 с.

2. Шамеева Т.Ю. Об оптимизации в задаче о распространении светового пучка в неоднородной среде //Вести. Московск.ун-та. Сер.вычисл.матем.и киберн. -1985,№1.-с.12-19.

3. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Вариационный метод решения обратной задачи об определении квантовомеханического потенциала //ДАН СССР.-1988, т.303, №5. -с.1044-1048.

4. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление нелинейными кван-товомеханическими системами //Автоматика и телемехан.-1989, №12. с.27-38.

5. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. О вариационном методе решения методе решения многомерной обратной задачи для нелинейного уравнения Шредингера //Изв.АН Азерб. Сер.физ-техн.и матем.наук.-1994, т.XV, №5-6. -с.58-61.

6. Ягубов Г.Я., Мусаева М.А. Об одной задаче идентификации для нелиней-ного уравнения Шредингера//Дифференц. уравнения.-1997, т.33, №12. -с.1691-1698.

7. Искендеров А.Д., Ягубов Г.Я. Оптимальное управление квантовомеха-ническим потенциалом //Труды ИММ АНА. -1998, т.XVIII. -с.75-80.

8. Ягубов Г.Я., Ибрагимов Н.С. Задача оптимального управления для нестационарного уравнения квазиоптики //В сб.: «Проблемы матем.модел. и опт. управления». -Баку, 2001. -с.49-57.

9. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. -408 с.

10. Искендеров А.Д., Ибрагимов Н.С. Разрешимость начально-краевых задач для нестационарного уравнения квазиоптики // Вестник Ленкоранского гос. ун-та. Сер. естественных наук, 2009, Ленкорань, с. 47-66.

11. Плотников В.И., Сикорская Е.Р. Оптимизация управляемого обьекта, описываемого нелинейной системой гиперболических уравнений // Изв. ВУЗов. Сер. Радиофизика.- 1972, т.15, №3.- с.345-357.

12. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969. – 384 с.

13. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.:Наука, 1981.-400с

                                                                 Ibrahimov N.S.

                                   A necessary condition  in the   problem of  identification

                                         for  non  stationary equation of  quasi optics.

                Summary: In this we study the question of necessary condition in the problem of identification of the  definition of  complex- valued  coefficient of non stationary equation  quasi optics. This proved the maximum principle of  Pontryagin and necessary condition in the type variation inequality. Key words: Non stationary equation quasi optics, the identification problem, the Pontryagin maximum principle.