УДК 517.958.530.1

К.ф.-м.н. Срумова Ф.В.

Таджикский национальный университет

ВЫЧИСЛЕНИЕ АСИМПТОТИКИ ЭНЕРГИИ, ИЗЛУЧАЕМОЙ СЛУЧАЙНЫМ ГАРМОНИЧЕСКИМ ИСТОЧНИКОМ КОЛЕБАНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ СРЕДЕ

Вычислена асимптотика энергии для решения эволюционной стохастической системы уравнений.

Ключевые слова: белый шум – случайный источник.

Рассмотрим следующую начально-краевую задачу для эволюционной стохастической системы уравнений:

(1)

Здесь

интеграл

стохастический, - предсказуемые функции, - белый шум, представляющий собой винеровский процесс на -самосопряженный эллиптический оператор, действующий в где -открытая область в , содержащая внешность некоторой сферы, граница которой принадлежит классу Пусть - классическое решение задачи (1). Вопрос о существовании и единственности такого решения исследован в [1], [2].

К уравнению (1) сводятся некоторые задачи подводной акустики [3]. Например, гидроакустические измерения в океане всегда проводятся в условиях, когда, кроме «полезного» сигнала, на гидрофон воздействует шумовой фон. «Шум» описывает ошибки измерений, ограничивает дальность и достоверность подводной телеметрии и связи, чувствительность акустических методов изучения океана, структуры его дна и т. п. Энергией называем интеграл [4]

Лемма 1. Пусть для всех , тогда классическое решение задачи (1) представимо в виде

где

(2)

Здесь - матрица решения задачи рассеяния [2]. Интеграл в (2) сходится в при почти всех , где - вероятностное пространство, на котором определен процесс .

Лемма 2. Если выполнены условия леммы 1, то для математического ожидания энергии справедлива формула

Лемма 3. Если выполнены условия теоремы, то

Теорема. Пусть случайные величины независимы,

для любого и все реализации тогда

Литература

1. Розовский Б.Л. Эволюционные стохастические системы. М.: Наука, 1983.

2. Ратанов Н.Е. Стабилизация статистических решений гиперболических уравнений второго порядка // Успехи матем. наук. 1984. Т. 39. С. 151-152.

3. Лямшев Л.М., Фурдуев А.В., Челноков Б.И. и др. Об одном механизме генерации подводных акустических шумов при штиле в океане // Радиационная акустика. М.: Наука, 1987. С. 46-51.

4. Арсеньев А.А. О поведении энергии решения волнового уравнения при больших временах // Ж. вычисл. матем. физ. 1970. Т. 10. № 4. С. 1031-1041.