Математика/ 5. Математическое моделирование

Айнабек Е.Е., к.ф.-м.н. Искакова А.С.

Казахско-турецкий лицей г. Петропаловск, Казахстан

Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, Казахстан

Построение критериев прогнозов букмекерских игр

1. Построение эмпирических зависимостейбукмекерских игр

По статистической отчетности определенной букмекерской конторы имеем статистические данные за последние k временных периодов доходов и операционных расходов. Нас интересует, как выглядит функциональная зависимость между x_i и y_i, где i принимает любые натуральные конечные значения. Пусть y – функция одной переменной с двумя параметрами a и b. Будем считать, что это x₁ и x_k.

Вычислим среднее арифметическое ,среднее геометрическое и среднее гармоническое . По вычисленным значениям независимой переменной нахожим из статистических данных таблицы 1 соответствующие значения переменной, ,

для пока еще неизвестной аналитической зависимости y=f(x,a,b). Вычислим среднее арифметическое крайних значений , среднее геометрическое и среднее гармоническое . В итоге после проделанных вычислений оцениванием следующие погрешности: , , , ,, , .

Теорема. Пусть . Тогда если e=e₁, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит линейная функция ; если e=e₂, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит показательная функция; если e=e₃, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция ; если e=e₄, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит логарифмическая функция; если e=e₅, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит степенная функция:если e=e₆, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит гиперболическая функция_:если e=e₇, то в качестве аналитической зависимости для данного графика хорошим приближением служит дробно-рациональная функция .

Пример. Подобрать эмпирическую зависимость для функций доходов букмекерской конторы, заданной таблично.

Таблица 2. Консалтинговый отчет о доходах букмекерской конторы «Гол-Пас»

	Май, 2012	Июнь,2012	Июль, 2012	Август, 2012
Доходы (тенге)	1756277	1995115	2031145	2956468

В данном случае статистические данные даны за последние четыре года, то есть k=4, и x₁=1, x₂=2, x₃=3, x₄=4. Проведем вычисления: среднее арифметическое , среднее геометрическое и среднее гармоническое . Из графика найдем значения функции , , .Выполняя дополнительные вычисления: определим среднее арифметическое крайних значений , среднее геометрическое и среднее гармоническое Поскольку , то в качестве аналитической зависимости следует выбрать логарифмическую функцию. Решая последнее выражение методом наименьших квадратов получили аналитическое выражение эмпирической функции дохода обязательного страхования есть.

2. Построение критериев ожидаемых прогнозов букмекерских игр

В предыдущем пункте выводились эмпирические функции доходов (операционных расходов). Разумеется, что значения от эмпирических формул, в основном, в какой-то степени расходятся с фактическими данными

Таблица 3. Сравнение консалтингового отчета о доходах букмекерской конторы и значений эмпирических функций

	Май, 2012	Июнь,2012	Июль, 2012	Август, 2012
Консалтин. отчет о доходах	1756277	1995115	2031145	2956468
Значения эмпир. функции	1620764,154	2112796,179	2400616,463	2604828,204
Сравнение	135512,845	-117681,179	-369471,462	351639,796

В связи с этим, мало вероятно построение идеального прогноза. Отметим, что значения эмпирической функции дохода представляют собой средний ожидаемый доход или эффективность операции. Тогда риском r_i (i- конечное натуральное число) операции является модуль разности ожидаемого дохода q_i и значения эмпирической функции y_i, то есть r_i =|q_i -y_i|.

По правилу Вальда или по правилу крайнего пессимизма за рекомендуемый прогноз дохода следует принять прогноз со значением

.

Так, например, при рассмотрении прогноза дохода от имеем . Значит, правило Вальда рекомендует принять прогноз дохода в виде . Ниже в таблице 4 приведены значения рекомендуемых прогнозов по правилу Вальда.

Таблица 4. Крайне пессимистические прогнозы доходов страховой компании

Май, 2012	Июнь,2012	Июль, 2012	Август, 2012
1386805,537	1625643,537	1661673,537	2586996,537

Аналогично правилу Вальда можно определить крайние оптимистические прогнозы как . Так, например, при рассмотрении прогноза дохода от обязательного страхования имеем

r₁ =135512,845, r₂ =117681,179, r₃ =369471,462, r₄ =351639,796

Значит, крайне оптимистические прогнозы получаемые значения как , приведены в таблице 4.

Таблица 5. Крайне оптимистические прогнозы доходов страховой компании

Май, 2012	Июнь,2012	Июль, 2012	Август, 2012
2125748,463	2364586,463	2400616,463	3325939,463

Таким образом, по результатам данных в таблиц 3 и 4 имеем следующие графики, описывающие эмпирические функции, функции крайних пессимистических и оптимистических прогнозов дохода.

Очевидно, что значение прогноза дохода (операционного расхода), принимающие значения больше крайних пессимистических и меньше крайних оптимистических прогнозов, удовлетворяет следующему условию или. Таким образом, значение прогноза дохода, принимающие значения больше крайних пессимистических и меньше крайних оптимистических прогнозов, удовлетворяет следующему условию

Литература:

1. Данилина Н.И. и др. Численные методы.

2. Малыхин В.И. Финансовая математика. –М.:Юнити, 2003. -237 с.

3. Волков И., Загоруйко Е. Исследование операций. М-2002.

4. Искакова А.С. Условие существования оценок максимального правдоподобия для параметров одного класса многомерных распределений // Известия МОН РК, НАН РК. 2004 г. №1. – С. 90-95.

5. Искакова А.С. Об определении некоторых оценок одной вероятностной модели // Евразийский математический журнал. -2005, №2.- С. 87-101.