М. П. Ленюк

Чернівецький факультет НТУ”ХПІ”

Скінченне гібридне інтегральне перетворення типу

Фур’є – Бесселя - Лежандра на сегменті [R₀,R₃] полярної осі

Побудуємо на множині інтегральне перетворення, породжене гібридним диференціальним оператором (ГДО).

(1)

У рівності (1) - одинична функція Гевісайда [1], -диференціальний оператор Фур’є другого порядку [2], - диференціальний оператор Бесселя [3], - узагальнений диференціальний оператор Лежандра [4]:

Означення: Областю задання ГДО назвемо множину G вектор-функцій з такими властивостями:

1) вектор-функція неперервна на ;

2) функції задовольняють крайові умови

(2)

3) функції задовольняють умови спряження

(3)

Умови на коефіцієнти:

Визначимо числа

вагову функцію

(4)

та скалярний добуток

(5)

Зауважимо, що із умов спряження (3) випливає базова тотожність: для та має місце тотожність

(6)

Покажемо, що ГДО самоспряжений. Згідно правила (5) для та

(7)

Проінтегруємо в (7) під знаком інтегралів два рази частинами:

(8)

Якщо то в силу крайової умови в точці маємо:

(9)

Якщо то в силу крайової умови в точці маємо:

(10)

В силу базової тотожності (6) в точці знаходимо, що

(11)

тому, що внаслідок вибору чисел та вираз

В силу базової тотожності (6) в точці знаходимо, що

(12)

тому, що внаслідок вибору чисел та вираз

В силу рівностей (9)-(12) у формулі (8) позаінтегральні вирази рівні нулю і ми одержуємо рівність

(13)

Рівність (13) показує, що ГДО самоспряжений. Звідси випливає, що його спектр дійсний. Оскільки ГДО на множині немає особливих точок, то його спектр дискретний [5]. Йому відповідає дійсна спектральна функція. Власні елементи ГДО ( власні числа й відповідні їм власні функції) знайдемо як ненульовий розв’язок відповідної спектральної задачі Штурма-Ліувілля.

Нехай -спектральний параметр, а функції - компоненти спектральної вектор-функції

(14)

Розглянемо регулярну спектральну задачу Штурма-Ліувілля: знайти не нульовий розв’язок сепаратної системи звичайних диференціальних рівнянь Фур’є, Бесселя та Лежандра

(15)

за однорідними крайовими умовами

(16)

та однорідними умовами спряження

(17)

Фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Фур’є утворюють функції та [2]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Бесселя утворюють функції Бесселя та [3]; фундаментальну систему розв’язків для диференціального рівняння Лежандра утворюють функції та [4];

Лінійність спектральної задачі Штурма-Ліувілля (15)-(17) дозволяє покласти

(18)

Крайові умови (16) та умови спряження (17) для визначення шести величин дають однорідну алгебраїчну систему із шести рівнянь:

(19)

Введемо до розгляду функції

Алгебраїчна система (19) має відмінний від нуля розв’язок тоді й тільки тоді, коли її визначник рівний нулю [6]:

(20)

Ми одержали трансцендентне рівняння для обчислення власних чисел ГДО .

Згідно з роботою [7] маємо твердження.

Теорема 1 (про дискретний спектр). Корені трансцендентного рівняння складають дискретний спектр ГДО : дійсні, різні, симетричні відносно й на півосі утворюють монотонну зростаючу числову послідовність з єдиною точкою згущення .

Підставимо в алгебраїчну систему (19) й відкинемо останнє рівняння в силу лінійної залежності.

Припустимо, що , де підлягає визначенню. Тоді перше рівняння системи перетворюється в тотожню рівність, а наступні два рівняння дають алгебраїчну систему з двох рівнянь для визначення величин

(21)

Визначник алгебраїчної системи (21) обчислюється безпосередньо:

.

Алгебраїчна система (21) має єдиний розв’язок [6]:

(22)

При відомих для визначення маємо алгебраїчну систему з двох рівнянь:

(23)

Визначник алгебраїчної системи (23) обчислюється безпосередньо:

Алгебраїчна система (23) має єдиний розв’язок [6]:

(24)

Підставимо визначені за правилами (22) та (24) величини у формули (18). Отримуємо функції:

(25)

Згідно рівності (14) спектральна вектор-функція визначена. При цьому її квадрат норми

(26)

Згідно з роботою [7] сформулюємо твердження.

Теорема 2 (про дискретну функцію). Система власних функцій

ортогональна на множині з ваговою функцією , повна й замкнена.

Теорема 3 (про зображення рядом Фур’є). Будь-яка вектор-функція зображається за системою абсолютно й рівномірно збіжним на множині рядом Фур’є:

(27)

У системі ортонормованих власних функцій

ряд Фур’є (27) набуває вигляду

(28)

Ряд Фур’є (28) визначає пряме й обернене скінченне гібридне інтегральне перетворення (СГІП), породжене на множині ГДО :

(29)

(30)

Визначимо величини та функції:

Теорема 4 (про основну тотожність). Якщо вектор-функція неперервна на множині , а функції задовольняють крайові умови

(31)

та умови спряження

(32)

то має місце основна тотожність СГІП ГДО :

(33)

Доведення: За правилом (29)

(34)

Проінтегруємо під знаками інтегралів два рази частинами:

(35)

Якщо , то

(36)

Якщо , то

(37)

Скористаємося базовою тотожністю для випадку, коли умови спряження неоднорідні:

(38)

При в точці спряження знаходимо, що

(39)

тому, що в силу вибору чисел та вираз

При в точці спряження знаходимо, що

(40)

тому, що в силу вибору чисел та вираз

Із диференціальних тотожностей

знаходимо диференціальні рівності

(41)

Якщо в рівності (35) підставити функціональні співвідношення (36)-(41), то будемо мати:

(42)

Оскільки

,

то одержана тотожність (42) співпадає з тотожністю (33).

Доведення теореми завершено.

Одержані правила (29), (30) та (33) складають математичний апарат для одержання інтегрального зображення аналітичного розв’язку відповідних задач математичної фізики неоднорідного середовища.

Список використаної літератури:

1. Шилов Г.Е. Математический анализ. Второй специальний курс. – М.: Наука, 1965. – 328с.

2. Степанов В.В. Курс дифференциальних уравнений. – М.: Физматгиз, 1959. – 468с.

3. Ленюк М.П. Исследования основных краевых задач для диссипативного волнового уравнения Бесселя. - Киев, 1983. – 62с. – (Препринт / АН УССР. Ин-т математики; 83.3).

4. Конет І.М., Ленюк М.П. Інтегральні перетворення типу Мелера-Фока. – Чернівці: Прут, 2002. – 248с.

5. Ленюк М.П., Шинкарик М.І. Гібридні інтегральні перетворення (Фур’є, Бесселя, Лежандра). Частина 1. – Тернопіль: Економічна думка,

2004. – 368с.

6. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1971. – 432с.

7. Комаров Г.М., Ленюк М.П., Мороз В.В. Скінченні гібридні інтегральні перетворення, породжені диференціальними рівняннями другого порядку. - Чернівці: Прут, 2001. – 228с.