К. ф-м. н. Манжос Т.В., к. ф.-м. н. Тертична О.М.

ДВНЗ «Київський національний економічний університет

імені Вадима Гетьмана», Україна

Про оптимальний розмір резервного запасу

в умовах невизначеності потреб підприємства

Управління запасами – це процес, що забезпечує ефективність операцій з запасами як всередині підприємства, так і зовні. Запаси є одним із найважливіших факторів забезпечення неперервності виробництва. У сучасних умовах ринку вміле управління запасами здатне забезпечити конкурентноспроможний ресурс компанії. Надлишкові запаси або їх дефіцит часто стають причиною багатьох невдач у бізнесі і втрат на виробництві, тому проблема ефективного управління запасами є досить актуальною для більшості підприємств.

Резервні запаси є свого роду «аварійним» джерелом постачання у випадках, коли попит на запас перевищує очікування. На виробництві потреби у сировині на певний проміжок часу точно спрогнозувати вдається дуже рідко, адже на інтенсивність виробничого процесу впливає багато випадкових чинників. Звідси і виникає необхідність у створенні резервних запасів. Оскільки їх зберігання вимагає додаткових витрат, то головним завданням є досягнення оптимального балансу між обсягом резерву і фінансовими витратами на нього.

Проблемі ефективного управління запасами присвячено ряд робіт, серед яких відмітимо [1], [2], [3]. Але, не дивлячись на те, що вченими розроблено багато методів управління запасами і розв’язано велику кількість пов’язаних з цим практичних задач, порушені питання є досі актуальними.

Розглянемо таку задачу. Нехай очікувані річні витрати сировини деякого підприємства дорівнюють . Якщо протягом року сировина закуповується разів рівними партіями, то розміри окремої партії будуть складати . Але, оскільки витрати сировини є випадковою величиною, то може трапитись так, що розміри потреби в сировині в деякі моменти перевищать існуючі запаси. Для того, щоб сировини вистачило на кожен із інтервалів часу, слід створити певний додатковий запас, який називається резервним запасом. Підприємство створює резерв у наперед заданому розмірі, а потім здійснює чергові закупки сировини. Коли основний запас вичерпується, а підприємство не встигло закупити нову партію, непередбачувані потреби покриваються з резерву.

Основна задача полягає у визначенні оптимального розміру резерву . На практиці розрахунки оптимального розміру резервного запасу базуються на деякій, наперед встановленій, ймовірності того, що резерв виявиться недостатнім. Цю ймовірність називають коефіцієнтом ризику . Якщо з певних міркувань такий коефіцієнт ризику встановлено, то на основі статистичних даних можна змоделювати дану ситуацію і визначити оптимальний розмір резерву [4]. Постає природне питання: яким повинен бути ризик та, відповідно, резерв , щоб витрати на його зберігання або можливу недостачу були мінімальними? Щоб відповісти на нього, побудуємо функцію пов’язаних з резервуванням витрат та за допомогою математичних методів розв’яжемо задачу її мінімізації.

Припустимо, що виникають деякі витрати, пов’язані з недостатністю резерву сировини , які можливо визначити заздалегідь. Такі витрати називають витратами дефіцитності.

Позначимо через випадкову величину, яка визначає розмір надлишку або недостачі сировини по відношенню до закупленої партії, з функцією щільності розподілу . Можливі два такі випадки:

1) резерв надто великий (), тоді виникають витрати зберігання надлишкового запасу; ці витрати складають , де – питомі витрати зберігання, тобто річні витрати зберігання одиниці запасу сировини;

2) резерв надто малий (), тоді виникають витрати дефіцитності, які дорівнюють , де – питомі витрати дефіцитності сировини.

Тоді витрати на зберігання резерву або можливої його недостачі дорівнюють

(1)

Задача знаходження оптимального розміру резерву запасів полягає в мінімізації очікуваного значення витрат (1), тобто .

Оскільки є функцією випадкового аргументу , то

(2)

Згідно необхідної умови існування екстремуму слід обчислити похідну і прирівняти її до нуля. Похідна математичного сподівання витрат (2) дорівнює

(3)

Прирівнявши вираз (3) до нуля, отримаємо необхідну умову існування мінімального значення , а саме:

(4)

Обчислимо далі похідні інтегралів, що стоять в лівій частині рівності (4). Для цього скористаємося теоремою математичного аналізу про диференціювання під знаком інтеграла, яка формулюється наступним чином.

Якщо задана функція , де межі інтегрування і залежать від змінної , то її похідна знаходиться за формулою:

(5)

Зауважимо, що теорема справедлива і у випадку нескінчених меж інтегрування.

Отже, за формулою (5) отримаємо:

(6)

Підставивши одержані результати із (6) у рівність (3), будемо мати:

(7)

Перевіримо тепер виконання достатньої умови існування мінімуму , який досягається при оптимальному резерві . Для цього переконаємося, що значення другої похідної при додатне. Диференціюючи за формулою (5) вираз (7), одержимо наступне: Очевидно, що , а тому при .

Таким чином, використовуючи (6), умову (4) можна записати у вигляді

(8)

Зауважимо, що інтеграл у чисельнику лівої частини виразу (8) є ймовірністю того, що , тобто надлишкового резерву (); а інтеграл у знаменнику є ймовірністю того, що , тобто недостатності резерву (). Отже, умова (8) набуде вигляду , звідки оптимальний коефіцієнт ризику

Література

1. Рыжиков Ю.И. Управление запасами [Текст] / Ю.И. Рыжиков. –М.: Наука, 1969. – 344с.

2. Терешкина Т.Р. Логистический подход к управлению запасами. [Текст] / Т.Р. Терешкина // Логистика, 2002. – №1. – с. 31-34.

3. Whitin T.W. The Theory of Inventory Management. [Text] / T.W. Whitin. – Princeton University Press, Princeton, N. J., 1953.

4. Ланге О. Оптимальные решения. [Текст] / О. Ланге; пер. с пол. В.Д. Меникера. – М.: Прогресс, 1967. – 287 с.