И.А. Долгарев

ПОВЕРХНОСТИ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ ГАЛИЛЕЯ В ЯВНОМ ЗАДАНИИ

АННОТАЦИЯ. Явное задание поверхности пространства-времени Галилея упрощает доказательство основной теоремы теории поверхностей.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА. Задание поверхности одной функцией; метрическая функция поверхности; форма кривизны галилеевой поверхности; определяемость галилеевой поверхности метрической функцией и одним коэффициентом формы кривизны.

Регулярная поверхность пространства-времени Галилея описывается векторной функцией

, ,                                  (1)

здесь  временной параметр,  пространственный параметр, [1]. Ввиду регулярности поверхности, от параметризации (1) всегда можно перейти к параметризации

, ,                                  (2)

Пространственный параметр обозначен через . В [1] и последующих работах, в том числе и в [2],  поверхности изучаются в параметризации (1). В геометрии евклидова пространства, см., например, [3], рассматриваются явно заданные поверхности, т.е. поверхности задаются одной функцией , или в виде , при этом некоторые формулы теории упрощаются. И поверхность пространства-времени Галилея будем задавать одной явной функцией, как в (2). Ниже установлено, что поверхность 3-мерного пространства-времени Галилея с точностью до положении в пространстве определяется ее метрической функцией и одним коэффициентом формы кривизны.

1.      Пространство-время Галилея

В линейном пространстве  действительного аффинного пространства  введено галилеево скалярное произведение векторов. Пусть = базис пространства  над полем  действительных чисел. Галилеевым скалярным произведением векторов = и = называется число:

 =                                           (3)

Линейное пространство  с галилеевым скалярным произведением векторов называется галилеевым векторным пространством , а аффинное пространство  стало  пространством-временем Галилея  . Галилеевой нормой вектора  называется = и

 =                                            (4)

В  неравенство треугольника не выполняется. Векторы , , называются

 галилеевыми, или временными векторы  называются  евклидовыми. Векторы из  и точки пространства  называются еще  событиями.

  Расстоянием    между событиями   и  называется:

 =

Прямые и плоскости аффинного пространства являются прямыми и плоскостями пространства Галилея  . Репер  = пространства  считается ортонормированным. Координатная плоскость  <O, , >  является евклидовой, а плоскости <O, ,>,  <O, ,> являются плоскостями Галилея – это 2-мерные галилеевы пространства. Через всякую точку  галилеева пространства  проходит единственная плоскость Евклида,  ее уравнение ; таким образом, выполняется

УТВЕРЖДЕНИЕ. В каждый момент времени в пространстве-времени Галилея существует единственная плоскость Евклида.

Остальные плоскости пространства Галилея, проходящие через точку  А  есть плоскости Галилея. В пространстве  временная составляющая 1-мерна. Поэтому все галилеевы векторы пространства, временная компонента которых имеет один и тот же знак, задают одно и то же временное направление в . Временное направление в  в точке  задается открытым полупространством, границей которого является евклидова плоскость пространства , проходящая через точку .

1. ЛЕММА. Всякий  галилеев вектор перпендикулярен всякому евклидову вектору.

# Галилеев вектор есть , , евклидов вектор . Т.к. , то скалярное произведение  вычисляется по первой строчке в определении (3), получаем , что означает . #

Для евклидова вектора введена функция (каппа-функция), получающаяся при дифференцировании единичного вектора, [1, c. 59].

            2. ЛЕММА. В случае двумерного евклидова вектора  производная единичного вектора направления  равна

 = , где , .                 (5)

Скалярный множитель  в разложении (5) называется  функцией (каппа-функцией) евклидова вектора , а также вектора  .

Вектор  =  перпендикулярен вектору   единичной дли-

ны, т.е. , , . В галилеевой теории кривых кручением кривой  называется функция вектора , [1, c. 61].

Линии и поверхности аффинного пространства   являются соответственно линиями и поверхностями пространства-времени Галилея . Галилеево скалярное произведение векторов выявляет галилеевы свойства  линий и поверхностей.

1.      Регулярная поверхность

Изучается регулярная поверхность  пространства-времени Галилея, заданная как отображение g :    ®  , и описываемая функцией

, ,                                         (2)

Функцию  рассматриваем в виде . Составляющая  является временной, составляющая  является пространственной, т.е. евклидовой. Векторы производных ,  не коллинеарны. Всякая точка   поверхности  является обыкновенной. Поверхность

является  проекцией  поверхности (2) на плоскость Евклида. Имеется взаимно однозначное соответствие   «   Для частных производных  выполняются равенства:

, ,

производные  линейно независимы. Имеется касательная плоскость поверхности (2)

 = .

Она является галилеевой. Вектор нормали  касательной плоскости  перпендикулярен и вектору . Считаем вектор  единичным, в соответствием с леммой 2,  имеем

.                                                       (7)

Это вектор нормали поверхности и, понятно, вектор нормали линии поверхности. Нормаль поверхности  во всякой ее обыкновенной точке  есть  = .

2.      Основные квадратичные формы поверхности

Полный дифференциал функции  равен . Квадрат его длины  вычисляется в соответствии с (4):

                                                     (8)

Значение компоненты во второй строке:

.                                                       (9)

Функция  называется метрической функцией поверхности , она связана с измерениями на поверхности. Величина (8) называется метрической формой поверхности (2) пространства Галилея.

На поверхности  (2)  рассматривается произвольная  галилеева линия, проходящая через точку  Р: 

 = .                                                         (10)

Выписываем вектор   касательной к этой линии:  = ,  ,  . Продифференцируем его по  :

 =   + 2 + .

Вектор  нормали (7) поверхности (2) нормален линии поверхности в точкеи, по лемме 1, нормален вектору . Вектор нормали (7) записывается в виде

.                                                   (11)

Линия (10)  является  нормальным сечением поверхности  (2). Поэтому, нормальная   кривизна    линий на поверхности:

.

В равенстве  =  + 2 +  введем обозначения:

 = q, , ,.                                        (12)

Кривизна линий на поверхности вычисляется по формуле

 = Aq2 + 2Bq + C,                                                   (13)

коэффициенты  А,В,С   вычислены в точке   Р.  Значение нормальной кривизны линий на поверхности зависит от значения величины  q:   – это функция направления в области  задания поверхности.

Вычислительные формулы введенных коэффициентов (12) с учетом (11):

,  ,   .                                        (14)

            Правую часть равенства (13) на основе первого равенства из (12) записываем в виде квадратичной формы

 .                                               (15)

Она называется формой кривизны поверхности пространства-времени Галилея. Коэффициенты формы кривизны поверхности (2) выписаны в (14).

3.      Полная кривизна галилеевой поверхности. Некоторые свойства поверхности

Нормальная кривизна  линии поверхности равна:

= A.                                                                  (16)

Функция  (13) обладает экстремумом. Из : находим направление qэ экстремальной  кривизны  линий на поверхности:

.

Экстремальное значение кривизны линий на поверхности по (12) таково

.                                                      (17)

Имеется два главных направления на поверхности: направление линии и экстремальное. Произведение нормальных кривизн линий на поверхности в главных направлениях называется полной кривизной поверхности: . По (16) и (17):

.                                                          (18)

Для поверхностей 3-мерного евклидова пространства установлено, [3], что коэффициенты формы кривизны поверхности выражаются через коэффициенты метрической формы. Тем самым изменяется содержание внутренней геометрии евклидовых поверхностей. По виду коэффициентов метрической формы и формы кривизны поверхности (9) и (14) приходим к выводу, что коэффициенты формы кривизны галилеевой поверхности не выражаются через коэффициент метрической формы. Галилеевы поверхности обладают традиционной внутренней геометрией. Формула (18) полной кривизны поверхности позволяет классифицировать обыкновенные точки поверхности, [2]. Для поверхности (2) по (18) и (14) получаем:

.

Эта формула полной крвизны галилеевой поверхности совпадает с формулой полной кривизны евклидовой поверхности в явном задании, см. [4, c. 263].

Если галилеева поверхность задана функцией (1), то метрическая функция поверхности и коэффициенты формы кривизны вычисляются по формулам:

, , , .    (19)

Формулы (9) и (14) проще только что приведенных.

4.      Основная теорема теории поверхностей

В теории поверхностей пространства-времени Галилея выполняется утверждение, аналогичное основной теореме теории поверхностей 3-мерного евклидова пространства: регулярная евклидова поверхность определяется с точностью положения в пространстве коэффициентами своих метрической формы и формы кривизны (теорема Петерсона-Бонне), см. [3]. Заданы дифференцирумые функции на односвязной области евклидовой плоскости , по коэффициентам (19) составлена система дифференциальных уравнений с частными производными

                                   (20)

Решением системы уравнений является семейство поверхностей (1), для которых заданные функции служат метрической функцией и коэффициентами формы кривизны; соответствующие начальные условия выделяют единственную поверхность с заданными коэффициентами основных квадратичных форм.

            Коэффициенты (9) и (14) позволяют получить систему уравнений, проще чем (20).

Так как по (9):, то , , следовательно, поверхность (2) определяется коэффициентами . Вместо системы уравнений (20) имеем

                                                 (21)

            ТЕОРЕМА. [5] Если на односвязной области евклидовой плоскости заданы класса  функции , , – метрическая функция и коэффициент формы кривизны поверхности (2), то функция , задающая галилееву поверхность (2) является решением системы дифференциальных уравнений с частными производными (21). Начальные условия вида , ,  выделяют единственную поверхность, проходящую через точку  и имеющую векторы касательных , . Метрическая функция  и коэффициент  формы кривизны найденной поверхности совпадают с заданными.

            Решение системы уравнений (21) тривиально.

            ПРИМЕР. Заданны функции: . Отыскиваем функцию . По условию имеем:

, .

Последние равенство дает . Приходим к уравнению

.

Его решение есть 2-параметрическое семейство поверхностей . Начальные условия  выделяют поверхности

,

определяющие параболоиды – эллиптический и гиперболический.

                        В линейное пространство аффинного пространства могут быть введены различные скалярные произведения векторов, в результате получаются евклидово, псевдоевклидово, галилеево и другие пространства. Линии и поверхности аффинного пространства обладают как евклидовыми, так и галилеевыми свойствами, выявляются они посредством введения соответствующего скалярного произведения векторов. Можно определить галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности и получить евклидову поверхность по заданным галилеевым квадратичным формам, [6].

 

Список литературы

1.      Долгарев  А. И. Классические методы в дифференциальной геометрии одулярных пространств. Монография. – Пенза: ИИЦ ПГУ, 2005.- 306с.

2.      Долгарев И. А. Системы дифференциальных уравнений в частных производных для поверхностей пространства Галилея:  дис. … канд. физ.-мат. Наук. - Пенза: ПГУ, 2007. – 119с.

3.      Долгарев А.И. Новый вид основной теоремы Гаусса в евклидовой теории поверхностей. // Materiali IX mezinarodni vedecko-praktika conference «Dni vedy – 2013» - Dil 32. Matematika. Vystavba a architektura: Praga. Publiching House “Education and Skience”. s.r.o. – 2013. С. 55 – 60.

4.      Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. – М.: Гостехиздат, 1956. 420с.

5.      Долгарев И. А. Галилеевы квадратичные формы евклидовой поверхности.// Метрическая геометрия поверхностей и многогранников – Междунар. конф. памяти Ефимова Н.В., МГУ, Москва, 18 – 21 авг. 1210. Сборник тезисов. – Москва: МАКС Пресс 2010. С. 24 – 25.

6.      Долгарев И. А. и Долгарев  А. И. Галилеевы идеи в курсе евклидовой дифференциальной геометрии.// Вестник Красноярского педуниверситета им. В.П. Астафьева, 2013 № 1(23), Красноярск, 2013, С. 232 – 235.