Технические науки/6. Электротехника и радиоэлектроника

Д.т.н., проф. Осадчук О. В., Осадчук Я. О.

Вінницький національний технічний університет, Україна

Фізичний механізм дії тиску на напівпровідники

Розробка напівпровідникових тензоперетворювачів почалися відразу після відкриття Ч. С. Смітом у 1953 році тензорезистивного ефекту у германію та кремнію. У теперішній час досягнуті значні результати теоретичних і експериментальних досліджень, в яких розглянуті як фізичні ефекти, що виникають при деформації напівпровідників, так і можливості використання цих ефектів у сенсорах [1–8].

Фізична причина деформаційних ефектів полягає у зміщенні енергетичних рівнів напівпровідника при дії деформації і зв’язана з цим зміна енергетичного спектру електронів і дірок в залежності від деформації, а це приводить до зміни електричних характеристик напівпровідника [3, 5]. В однорідних напівпровідниках зміщення енергетичних рівнів приводить до залежності опору від деформації, тобто виникає тензорезистивний ефект [2, 6, 7]. При дії деформації на p-n перехід або на інший напівпровідниковий прилад електричні характеристики приладу виявляються функціями тиску [3, 5]. Розглядаючи зонну структуру такого напівпровідника, як кремній, слід відзначити, що зона провідності має шість еквівалентних мінімумів, де - набір мінімумів, які розташовані в кристалографічному напрямку <100>. Валентна зона має максимум при , де хвильовий вектор електрона, причому біля її вершини існує двократне виродження по енергії. Якщо напівпровідник підлягає дії деформації, то його симетрія у загальному випадку зменшується і змінюється спектр електронів. При цьому відбувається повне або часткове виродження спектру.

Для визначення спектру електронів у деформованому кристалі використовується теорія збудження [5]. Зміну енергії з малими деформаціями можна подати у вигляді [5]

, (1)

де – тензор деформації

, (2)

де – складова вектора зміщення точки кристалічної ґратки при деформації, і – енергії електрона в n-ій зоні, відповідно в деформованому і недеформованому кристалі, – константи деформаційного потенціалу. В системі координат, яка співпадає з головними осями тензора , зміщення кожного екстремуму зони провідності описується виразом [5]

, (3)

де – стала, яка характеризує вплив всебічного стиснення, а – вплив одноосної деформації. У кремнію енергетичні мінімуми зони провідності розташовані за напрямками <100>, <010>, <001> і зворотному рівні (типу ), тоді зміщення рівнів при деформації для перших трьох мінімумів буде дорівнювати [5]

; ; , (4)

де – зміна об’єму при деформації, яка дорівнює .

У загальному вигляді вираз (4) можна зобразити рівнянням

, (5)

де і – позначка, яка набуває значення 1, 2, 3. При значних деформаціях зсуву в деяких випадках мінімуми зони провідності можуть зміститись до краю зони Брілюена і тоді деформаційна зміна енергії екстремумів дорівнює [5]

; ;

, (6)

де – різниця енергій між тими рівнями, які є нижніми, якщо відсутня деформація, – стала деформаційного потенціалу, яка характеризує вплив зсуву. Це означає, що деформація зсуву викликає розщеплення екстремуму, який знаходиться у напрямку <100>. Оскільки вершина валентної зони в недеформованому стані вироджена у точці , то деформаційна зміна валентної зони має складніший характер. Енергія дірок за відсутності деформації описується виразом [5]

, (7)

а у деформованому кристалі [5]

, (8)

де , ,

,

де – параметри валентної зони, які характеризують ефективні маси дірок, , a, b, d – сталі деформаційного потенціалу для валентної зони, – ізотропна деформація (наприклад, всебічне стиснення), яка приводить до зміщення зони як цілого. Анізотропна деформація дає розщеплення зон

, (9)

де – розташування вершини верхньої валентної зони при деформації, а – нижньої зони. Отже, зміщення і розщеплення вершини валентної зони можна показати у вигляді .

Якщо деформації достатньо великі, коли ( k – стала Больцмана, Т – абсолютна температура у градусах Кельвіна), нижні мінімуми зони провідності збагачені електронами, а стеля валентної зони – дірками, тоді можна визначити відстань між найближчими рівнями валентної зони і зони провідності, тобто ширину забороненої зони у деформованому напівпровіднику [6]

, , (10)

де – деформаційне зміщення нижнього мінімуму зони провідності, – деформаційне зміщення верхнього рівня валентної зони. Положення рівня Фермі під час дії деформації у загальному випадку визначається

, (11)

де – деформаційна зміна положення рівня Фермі. Деформаційна зміна рівня Фермі у напівпровіднику n-типу у випадку невиродженого напівпровідника (високі температури, малі концентрації легувальних домішок) визначається формулою [5]

, (12)

де – повна концентрація електронів у недеформованому напівпровіднику, – концентрація електронів у j – мінімумі, – кількість енергетичних мінімумів, – деформаційне зміщення j – мінімуму. Для однотипних мінімумів при малих деформаціях можна записати [5]

. (13)

Для тих видів деформації, які приводять до однакового зміщення усіх мінімумів зони провідності, рівень Фермі зміщується разом з краєм зони .

Для випадку сильного виродження електронів, коли деформації малі, зміщення рівня Фермі описується виразом [5]

. (14)

Для однотипних рівнів зміщення рівня Фермі визначається формулою (13). Деформаційна зміна рівня Фермі в матеріалі p-типу відбувається при ізотропній деформації. Деформаційне зміщення валентних зон як цілого і зміщення рівня Фермі співпадають . Дія анізотропної деформації на напівпровідник p-типу рівень Фермі не змінює.

В деформованому напівпровіднику перерозподіл електронів між рівнями приводить до зміни концентрації носіїв заряду у зоні. Концентрація у власному напівпровіднику при дії деформації дорівнює [5]

. (15)

Концентрації носіїв заряду у напівпровіднику n-типу описуються виразами [5]

, , (16)

де – концентрація донорної домішки. Аналогічні вирази можна написати для матеріалу p-типу з акцепторними домішками [5]

, , (17)

Якщо тиски великі, умови і порушуються, тоді концентрація носіїв заряду потрібно розраховувати згідно формул [5]

, . (18)

Врахування складної зонної структури необхідно у тому випадку, коли при деформації зона розщеплюється і в процесі провідності бере участь тільки частка рівнів. Для цього випадку концентрації носіїв заряду визначаються [5]

, (19)

. (20)

Для сильно виродженого напівпровідника зміна концентрації носіїв заряду значно менша в порівнянні з невиродженим, що пов’язано із зменшенням ефекту п’єзоопору зі збільшенням концентрації легуючої домішки.

Причиною появи домішкових рівнів у забороненій зоні може бути як атоми домішок, які проникли у напівпровідник, так і різні дефекти: дислокації, порушення структури тощо. Зміна спектру електронів під час деформації напівпровідника приводить до зміщення домішкових рівнів. У випадку багатодолинної зонної структури домішковий рівень вироджений у такій же мірі, як і край зони, а деформація у рівній мірі знімає виродження у обох. При деформаційному розщепленні зони кожний з екстремумів мовби супроводжується своїм мілким домішковим рівнем. Швидкість зміщення такого рівня відносно відповідної зони звичайно на два порядки менша, ніж швидкість зміщення країв зони і зміщення ширини забороненої зони. Швидкість зміщення глибокого рівня при деформації звичайно більша, причому, як правило, кожний із глибоких рівнів характеризується своєю швидкістю зміщення. Якщо положення домішкового рівня у зоні змінюється з тиском

, (21)

де – зміна енергії іонізації, то в середньому для оцінок глибоких рівнів можна вважати .

Перерозподіл носіїв заряду між зміщеними рівнями у деформованому напівпровіднику і зміщення домішкових центрів, які є центрами рекомбінації, приводить до зміни рухливості неосновних носіїв заряду. Якщо тиски малі, зміна рухливості зв’язана з п’єзорезистивним ефектом. Тензорезистивний (п’єзорезистивний) ефект – це зміна електричного опору напівпровідника внаслідок дії навантаження, яке створює деформацію. Опис тензорезистивного ефекту проводиться з використанням деяких понять з теорії пружності. Якщо тиски великі, залежність рухливості має складний характер. Рухливість носіїв заряду зв’язана з його масою m співвідношенням

, (22)

де – середній час релаксації, який вважається незалежним від тиску. Поверхні постійної енергії електронів поблизу мінімумів у відповідних енергетичних зонах є еліпсоїди обертання з осями симетрії, які орієнтовані в кремнію по осі <100>. Кожний еліпсоїд постійної енергії характеризується двома різними масами – уздовж осі еліпсоїда і перпендикулярно до неї , яким відповідають різні рухливості - і . Відношення рухливостей К отримало назву фактора анізотропії рухливості .

Перерозподіл носіїв заряду між енергетичними рівнями при деформації приводить до зміни внеску цих двох компонентів у загальну рухливість по відношенню до недеформованого матеріалу. Ефективна рухливість електронів [5]

, (23)

де – рухливість електрона в і – мінімумі уздовж напрямку струму. Величину можна визначити через і . Наприклад, в недеформованому кремнію p-типу рухливість електронів уздовж осі <100> дорівнює [5]

, (24)

оскільки долини <010> і <001> мають в напрямку <100> рухливість . При дії деформації внесок різних долин змінюється. Наприклад, при одноосному стисненні кремнію уздовж осі <100> рухливість описується рівнянням [5]

. (25)

Рухливість дірок у недеформованому кремнію має вигляд [5]

, (26)

де і – ефективні маси легких і важких дірок у недеформованому кремнію. При деформації рухливість дірок дорівнює [5]

, (27)

де і – концентрація дірок у верхній і нижній зонах, які розщепилися, і – відповідні рухливості, , – розщеплення вершини валентної зони.

У кремнію p-типу практично відсутня анізотропія рухливості дірок. Дія анізотропної деформації порушує симетрію поля ґратки, що приводить до зникнення виродження, тому що стеля валентної зони легких і важких дірок зміщується на різну величину у протилежних напрямках. Це, у свою чергу, викликає перерозподіл дірок між підзонами [8]. Перерозподіл концентрації легких і важких дірок внаслідок різниці їх рухливостей приводить до зміни провідності і опору. Зміна провідності описується рівнянням [5]

, (28)

де – деформаційна зміна концентрації дірок у верхній і нижній зонах, які розщепилися, . Відносна зміна провідності [5]

. (29)

У випадку впливу деформації (розтягуючої напруженості ) на напівпровідник n-типу у напрямку <100> дно зони провідності у цьому напрямку опуститься, а в напрямку <010> підніметься, внаслідок чого відбудеться перерозподіл електронів між мінімумами і зміниться їх концентрація. Якщо позначити кількість електронів, які перейшли із одного мінімуму в другий через , то вираз для провідності деформованого напівпровідника n-типу має вигляд

. (30)

Оскільки , то електрична провідність деформованого напівпровідника зменшиться. Відносна зміна електропровідності

. (31)

Отже, ефект зміни електропровідності при деформації визначається зміною концентрації електронів і анізотропією ефективних мас. Якщо енергетичні рівні у паралельних долинах <100> зросли під час дії розтягуючої напруженості уздовж цього напрямку на величину , а в долинах, які розташовані уздовж осі <010> зменшились на величину , то відношення кількості електронів у двох типах долин у відповідності до закону Больцмана для слабо легованих напівпровідників дорівнює [5]

(32)

де – енергетичний рівень при , кал/моль/^оК – газова стала, Т – абсолютна температура. Загальна кількість електронів у долині залишається постійною і визначається [5]

, (33)

тоді електропровідність можна записати у вигляді

. (34)

Розв’язування рівнянь (32) – (34) дозволяє отримати значення

, (35)

Відносна зміна опору під дією напруженості визначається [5]

. (36)

За умови анізотропії електропровідності, яка виникає під дією одноосного розтягу або стиснення, зв’язок між напруженістю поля і густиною струму описується системою рівнянь

(37)

де – питомий опір матеріалу при . Для випадку, коли ,

, (38)

– компоненти вектора напруженості електричного поля, – компоненти вектора густини струму, – нормальні компоненти напруги, – зсувові компоненти напруги (позначки 1,2,3 відповідають кристалографічним осям ОХ1, ОХ2, ОХ3), – коефіцієнти п’єзоопору, тобто коефіцієнти пропорційності між зміною питомого опору і деформацією, які залежать від властивостей матеріалу, таких як тип провідності, питомий опір, температура тощо.

Якщо електричне поле Е, густина струму і механічна напруга мають напрямок уздовж однієї осі, то [5]

, (39)

де – повздовжній коефіцієнт п’єзоопору, який залежить від кристалографічного напрямку у матеріалі. Коефіцієнт для кубічних кристалів має вигляд [5]

, (40)

де – направляючі косинуси кутів між напрямком деформації і осями ОХ1, ОХ2, ОХ3, відповідно. Повздовжній опір з повздовжньою напругою

, (41)

тоді зміна опору з напругою

. (42)

Визначивши у (42) прикладену механічну напругу через відносну деформацію і модуль Юнга , отримаємо [5]

, (43)

де – коефіцієнт еластоопору, який залежить від кристалографічних напрямків, температури і деформації. Величина модуля Юнга залежить від кристалографічного напрямку [5]

, (44)

де – модулі пружності, які зв’язані з пружними сталими кубічного кристалу відношеннями [5]

, , .

У кремнію n-типу найбільший тензоефект має місце в напрямку <100>, а кремнію p-типу – у напрямку <111>.

Наведені вище твердження і висновки є основою розрахунків впливу тиску на конкретні напівпровідникові пристрої, оскільки основними факторами, які викликають зміну характеристик приладів під тиском, є зміщення енергетичних рівнів напівпровідника, зміна ефективних мас, часу життя і рухливості носіїв заряду. До характеристик напівпровідникових приладів, які залежить від тиску, можна віднести вольт-амперні характеристики p-n переходів, транзисторів, їх ємність, напругу пробою, коефіцієнт підсилення транзисторів тощо. Слід відзначити, що існує два діапазони тисків, які визначають характер змін параметрів напівпровідникових приладів. Це великі тиски, при яких , і малі тиски, коли (– зміна ширини забороненої зони, – теплова енергія). При великих тисках відбувається розщеплення зон, перерозподіл між екстремумами носіїв заряду. В цьому випадку головним фактором, який змінює параметри напівпровідника, є деформаційна зміна ширини забороненої зони. Якщо тиски малі, значний внесок у зміну струму, який проходить через напівпровідник, вносить зміна ефективних мас, часу життя і рухливості носіїв заряду від тиску. Іноді вагомий внесок може давати зміщення домішкових рівнів під дією тиску, якщо рекомбінація і генерація носіїв заряду на цих рівнях або тунелювання через них суттєво впливають на струм.

Література:

1. Датчики фирмы MOTOROLA. Обзор продукции фирмы MOTOROLA. –М.: ОДЭКА, 2008. – 75 с.

2. Ваганов В.И. Интегральные тензопреобразователи. –М.: Энергоатомиздат, 1983. –136с.

3. Викулин И.М., Стафеев В.И. Полупроводниковые датчики. –М.: Сов. радио, 1975. –104 с.

4. Викулин И.М., Стафеев В.И. Физика полупроводниковых приборов. –М.: Радио и связь, 1990. –264 с.

5. Полякова А.Л. Деформация полупроводников и полупроводниковых приборов. –М.: Энергия, 1979. –168 с.

6. Багдасарян А.В., Шермегор Г.Д., Захаров Н.П., Сергеев В.С. Оценка влияния напряженно деформированного состояния кремниевых пластин на смещение экстремумов энергетических зон // Электронная техника. Сер.2. Полупроводниковые приборы. Вып.5 (184), 1986. С.21-30.

7. Poppinger M. Silicon diaphragm pressure sensors // Solid State Devices, 1985. –P.53-70.

8. Киреев П.С. Физика полупроводников. –М.: Высшая школа, 1975. –583 с.