Останина А.Г.

Лесосибирский педагогический институт – филиал

Сибирского Федерального университета, Россия

Элементы комбинаторики в школе и вузе.

Комбинаторика занимается различного вида соединениями, которые можно образовать из элементов конечного множества. Некоторые элементы комбинаторики были известны в Индии еще во II в. до н. э. умели вычислять числа, которые сейчас называют "сочетания". В XII в. Бхаскара вычислял некоторые виды сочетаний и перестановок. Предполагают, что индийские ученые изучали соединения в связи с применением их в поэтике, науке о структуре стиха и поэтических произведениях. Например, в связи с подсчетом возможных сочетаний ударных (долгих) и безударных (кратких) слогов стопы из n слогов. Как научная дисциплина, комбинаторика сформировалась в XVII в.

В книге "Теория и практика арифметики" (1656 г.) французский автор Бельский Аркадий Александрович. Также посвящает сочетаниям и перестановкам целую главу. Б. Паскаль в "Трактате об арифметическом треугольнике" и в "Трактате о числовых порядках" (1665 г.) изложил учение о биномиальных коэффициентах. П. Ферма знал о связях математических квадратов и фигурных чисел с теорией соединений. Термин "комбинаторика" стал употребляться после опубликования Лейбницем в 1665 г. работы "Рассуждение о комбинаторном искусстве", в которой впервые дано научное обоснование теории сочетаний и перестановок. Изучением размещений впервые занимался Я. Бернулли во второй части своей книги "Ars conjectandi" (искусство предугадывания) в 1713 г. Современная символика сочетаний была предложена разными авторами учебных руководств только в XIX в.

Все разнообразие комбинаторных формул может быть выведено из двух основных утверждений, касающихся конечных множеств – правило суммы и правило произведения.

Правило суммы. Если конечные множества не пересекаются, то число элементов X U Y {или} равно сумме числа элементов множества X и числа элементов множества Y.

То есть, если на первой полке стоит X книг, а на второй Y, то выбрать книгу из первой или второй полки, можно X+Y способами.

Правило произведения. Если элемент X можно выбрать k способами, а элемент Y-m способами то пару (X,Y) можно выбрать k*m способами.

То есть, если на первой полке стоит 5 книг, а на второй 10, то выбрать одну книгу с первой полки и одну со второй можно 5*10=50 способами.

Размещения без повторений. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны?

Это пример задачи на размещение без повторений. Размещаются здесь 10 цифр по 6. А варианты, при которых одинаковые цифры стоят в разном порядке считаются разными.

Если X-множество, состоящие из n элементов, m≤n, то размещением без повторений из n элементов множества X по m называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов называется упорядоченное множество X, содержащее m элементов.

Количество всех размещений из n элементов по m обозначают

n! - n-факториал (factorial анг. сомножитель) произведение чисел натурального ряда от 1 до какого либо числа n

n!=1*2*3*...*n 0!=1

Значит, ответ на выше поставленную задачу будет

.

Перестановки без повторений. В случае n=m (см. размещения без повторений) из n элементов по m называется перестановкой множества x.

Количество всех перестановок из n элементов обозначают P_n.

P_n=n!

Действительно при n=m:

Сочетания без повторений. Сочетанием без повторений называется такое размещение, при котором порядок следования элементов не имеет значения.

Всякое подмножество X состоящее из m элементов, называется сочетанием из n элементов по m.

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

Число сочетаний из n элементов по m обозначается .

.

Задачи на комбинаторику часто встречаются в олимпиадных задачах школы и вуза на разных уровнях.

Например, для студенческой олимпиады можно предложить следующую задачу. Сколькими способами можно выбрать среди натуральных чисел от 1 до 100 три числа, сумма которых делится на 3?

В задания школьной олимпиады можно включить следующую задачу. В шахматном кружке занимаются 7 мальчиков и 2 девочки. Для участия в соревнованиях нужно выбрать команду из четырех человек, в которой будет по крайней мере одна девочка. Сколькими способами можно это сделать?

Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во включении в школьные программы элементов статистики, теории вероятностей и комбинаторики. Это обусловлено ролью, которую играют вероятностно - статистические знания в общеобразовательной подготовке современного человека. Без минимальной вероятностно - статистической грамотности трудно адекватно воспринимать социальную, политическую, экономическую информацию и принимать на ее основе обоснованные решения. Современные науки, такие как физика, химия, биология, весь комплекс социально - экономических наук построены и развиваются на вероятностно - статистической базе.

Рассмотрим линию учебников математике, где элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей учащиеся начинают изучать с 5 класса.

"Математика" под редакцией Дорофеева Г. В. 5 класс. Изучается одна тема: перебор возможных вариантов, а в учебнике для 6 класса средней школы авторы рассматривают две темы - это логика перебора и правило умножения. В каждом параграфе разобраны примеры, что способствует большему пониманию темы, а после для решения предлагается большое количество задач разного уровня. В учебнике 7 класса так же вводятся темы, их две - решение комбинаторных задач и перестановки. Во втором параграфе так же водятся понятие факториала. Темы излагаются очень доступно и интересно.

В учебном пособии Ю. Н.Макарычева, Н.Г. Миндюк "Алгебра. Элементы статистики и теории вероятностей" для 7-9 классов под редакцией С.А. Теляковского в 9 классе вводятся темы: решение простейших комбинаторных задач, правило умножения, факториал, перестановки, размещения, сочетания. Материал излагается доступно, после каждого параграфа предлагается более десятка задач с повышением уровня сложности.

Нельзя не отметить учебное пособие Виленкин Н.Я. "Алгебра и математический анализ" для 11 класса, которое предназначено для углубленного изучение математики. Глава "Элементы комбинаторики" разделена на три параграфа: множества, кортежи, отображения; основные законы комбинаторики; основные формулы комбинаторики. После каждого параграфа вводятся задачи для самостоятельного решения.

В заданиях итоговой аттестации школьника в ГИА и в ЕГЭ так же имеют место задания на данную тему.

ГИА включает в себя два вопроса из темы "Статистика и Теория вероятностей", а именно задания "В18" и "В19". Задание данного типа представляют собой базовый уровень с кратким ответом в виде целого числа или конечной дроби.

Основные проверяемые требования в заданиях "В18": умение анализировать реальные числовые данные, представленные в таблицах, на диаграммах, графиках.

Основные проверяемые требования в заданиях "В19": решение практических задач, требующие систематического перебора вариантов; сравнение шансов наступления случайных событий, оценивание вероятности случайного события, сопоставление и исследование модели реальной ситуацией с использованием аппарата вероятности и статистики.

В ЕГЭ задания на тему "Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей" составляют 3,1% от всех заданий (1 задание). В10 - задание базового уровня. Они делятся на два вида: задачи на классическое определение вероятности и задачи на теоремы о вероятностях событий.

Элементы комбинаторики и теория вероятностей - один из разделов, школьного курса математики, представляющий несомненную ценность для общего образования. Полезность получаемых знаний состоит как в том значении, которое имеют эти знания для понимания и познания закономерностей окружающего нас мира, так и возможности их непосредственного применения при изучении других наук и в повседневной жизненной практике.