УДК 517

Доцент О.В. Матысик

Брестский государственный университет имени А.С. Пушкина (Беларусь)

О РЕГУЛЯРИЗАЦИИ НЕКОРРЕКТНЫХ ЗАДАЧ
С НЕСАМОСПРЯЖЕННЫМ ПРИБЛИЖЕННО ЗАДАННЫМ ОПЕРАТОРОМ

Пусть H и F – гильбертовы пространства, A L (H, F), т. е. А – линейный непрерывный оператор, действующий из H в F. Предполагается, что нуль не является собственным значением оператора А, однако нуль принадлежит его спектру. Рассмотрим уравнение

(1)

Задача отыскания элемента по элементу является некорректной, так как сколь угодно малые возмущения в правой части y могут вызывать большие возмущения решения уравнения.

Предполагаем, что точное решение уравнения (1) существует и является единственным. Будем искать его с помощью итерационного метода

, (2)

где E – тождественный оператор, – итерационный шаг. Считаем, что оператор А и приближенная часть y уравнения (1) заданы приближенно, т. е. вместо y известно приближение , , а вместо оператора известен оператор , . Предполагаем, что и . Тогда метод (2) примет вид

. (3)

Пусть , , , , . Итерационная процедура (3) запишется в виде , где . При получены следующие условия для функции :

, , (), (4)

, (), , , (5)

(здесь – степень истокообразной представимости точного решения , , ),

, , (), (6)

, . (7)

Докажем сходимость метода (3) в случае априорного выбора параметра регуляризации при решении уравнения (1) с несамосопряженным приближенно заданным оператором и получим априорные оценки погрешности.

В случае несамосопряженного оператора метод (3) примет вид

(8)

Справедливы

Лемма. Пусть A,L (H, F), ,, и выполнены условия (6) и (7). Тогда

при , ,,

при , , ,

где , .

Теорема 1. Пусть A,L (H, F),, , , , , и выполнены условия (4), (6), (7). Выберем параметр так, что , при , . Тогда при , .

Теорема 2. Пусть A,L (H, F),, , , , , . Если точное решение представимо в виде , , , и выполнены условия (4), (5), то справедлива оценка погрешности метода (8)