Педагогические науки/5.Современные методы преподавания

К.т.н. Куимова Е.И., к.п.н. Ячинова С.Н.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Россия

Особенности преподавания курса дифференциальных уравнений студентам экономических специальностей

Очень часто в процессе преподавания курса математического анализа студентам не технических специальностей приходится сталкиваться с ярко выраженным непониманием необходимости изучения многих разделов. Конечно, можно объяснить им, что знание математики, вернее, способность к познанию с помощью математики, является частью развития мышления и показателем потенциального роста личности. Но, несомненно, лучше остановиться на приложениях изучаемого раздела и, желательно, соответствующих специальности студентов. В рамках теории дифференциальных уравнений это сделать совсем нетрудно.

Предварительно ознакомив студентов с основными понятиями и определениями, показав стандартные подходы к интегрированию простых типов дифференциальных уравнений, переходим к приложениям дифференциальных уравнений. Начинаем с рассмотрения модели естественного роста.

Существуют процессы, в которых величина такова, что скорость ее изменения пропорциональна значению этой величины в тот же момент времени. Уравнение такого процесса называют уравнением естественного роста :

.

Впервые оно было получено Якобом Бернулли. Им же была решена такая задача.

Пусть заимодавец платит кредитору от занятой суммы в год. Сколько он должен уплатить за год на каждую единицу занятой суммы, если проценты нарастают непрерывно?

Величина долга растет со скоростью, пропорциональной значению этой величины в тот же момент времени, т.е. решаем уравнение с разделяющимися переменными

, , .

После интегрирования получим общее решение . Для определения константы С используем тот факт, что . Дифференциальное уравнение естественного роста было предложено Мальтусом для прогнозирования роста населения Земли. Коэффициент k часто называют мальтузианским коэффициентом линейного роста.

Одного примера недостаточно для формирования мотивации у студентов, поэтому далее можно рассмотреть модель истощения ресурсов.

В настоящее время для обеспечения пищей одного человека необходима площадь 0,1 га. На земном шаре 4000 млн га пахотной земли. Поэтому население его должно быть, если не учитывать в будущем новых источников пищи, ограничено количеством 40000 млн человек. Когда будет достигнут этот предел насыщения населения, если оно непрерывно растет со скоростью 1,8 % в год?

Согласно Мальтусу, закон роста населения можно выразить следующим образом:

За начало отсчета возьмем 1999 год, когда население Земли составило человек. Тогда

.

Ищем такое , чтобы

.

Тогда , откуда .

Логарифмируя последнее равенство, имеем , откуда лет.

Итак, примерно в 2104 г. мир достиг бы предела насыщения, если бы сохранился темп роста населения.

Решение уравнения естественного роста выражается с помощью экспоненциальной функции , которая очень быстро возрастает. Если растет в арифметической прогрессии, т.е. принимает возрастающую последовательность значений

то соответствующие значения образуют геометрическую прогрессию

где . Поскольку , имеем . Откуда следует, что при .

Из решения этой задачи видно, что согласно модели Мальтуса население Земли растет очень быстро. Говоря о росте населения, ученые употребляют термин «демографический взрыв». Этот термин вполне уместен, поскольку рост населения описывается тем же дифференциальным уравнением, что и ядерный взрыв.

Таким образом, согласно Мальтусу, человечество находится в ловушке – если оно не наладит регулирования рождаемости, то оно обречено на безработицу, голод и обнищание широких масс.

Кроме того, можно рассмотреть такие примеры, как модель естественного роста выпуска продукции, модель роста населения Земли с учетом насыщения, модель «социальной диффузии», модель, описывающую рост количества продукции на некотором предприятии, произведенной в определенный момент времени.

Практика показала, что демонстрация возможности применения дифференциальных уравнений способствует усилению мотивационной составляющей учебного процесса и существенным образом влияет на усвоение студентами данного раздела математического анализа.