Технические науки/2. Механика

Д.т.н. Украинец В.Н., к.т.н. Гирнис С.Р.

Павлодарский государственный университет, Казахстан

Математическое моделирование динамического поведения тоннеля мелкого заложения при действии транспортных нагрузок

Изучение динамики тоннелей при действии транспортных нагрузок (подвижных нагрузок от внутритоннельного транспорта) методом математического моделирования приводит к краевым задачам механики деформируемого твердого тела. Как показывают расчеты [1] и экспериментальные исследования, с увеличением глубины заложения тоннеля эффект динамического воздействия транспортной нагрузки на земную поверхность снижается, и при глубине около четырёх его характерных поперечных размеров становится несущественным. В этом случае при решении транспортной задачи земную поверхность можно не учитывать и рассматривать сооружение как тоннель глубокого заложения (заглубленный тоннель). С библиографий, касающейся математического моделирования таких тоннелей при различных нагрузках и воздействиях, можно ознакомиться в монографиях [1,2]. Впервые модельная для заглубленного тоннеля транспортная задача о действии движущейся осесимметричной нормальной нагрузки на однородную цилиндрическую оболочку в упругой среде рассматривалась в работе В.М. Львовского, В.И. Онищенко, В.И. Пожуева [3]. Аналогичные исследования для двухслойной оболочки проведены в [4]. Для тоннелей неглубокого (мелкого) заложения постановка транспортной задачи значительно усложняется в силу ощутимой деформации земной поверхности и её влияния на концентрацию напряжений в окрестности сооружения при дифракции отражённых и переотражённых волн. Решение такой задачи в случае подкрепления тоннеля тонкостенной обделкой приведено в [5]. В настоящей работе построена аналогичная [5] математическая модель динамики тоннеля мелкого заложения, подкрепленного двухслойной круговой обделкой с толстым наружным и тонким внутренним слоями.

В качестве расчетной схемы тоннеля рассмотрим бесконечно длинную круговую цилиндрическую полость радиусом , расположенную в линейно-упругом, однородном и изотропном полупространстве (h>R₁) параллельно его ненагруженной горизонтальной границе , подкреплённую двухслойной оболочкой, внутренним слоем которой является тонкостенная упругая оболочка толщиной h₀ и радиусом срединной поверхности , а наружным – толстая упругая оболочка (в силу малости h₀ принимаем, что тонкостенная оболочка контактирует с толстой оболочкой вдоль своей срединной поверхности). Условимся внутренний слой двухслойной оболочки называть несущим слоем, а наружный – ограждающим слоем. Контакт между слоями оболочки, а также контакт между ограждающим слоем и массивом будем полагать либо жёстким, либо скользящим при двусторонней связи в радиальном направлении. Пусть на внутреннюю поверхность оболочки действует нагрузка интенсивностью Р, движущаяся с постоянной скоростью с в направлении оси z (совпадающей с осью оболочки) декартовой системы координат xyz. Скорость движения нагрузки принимаем дозвуковой, т.е. меньше скоростей распространения волн сдвига в ограждающем слое и массиве, – характерной для современных транспортных средств. Физико-механические свойства полупространства (массива) и ограждающего слоя характеризуются следующими постоянными: n₁, m₁, r₁; n₂, m₂, r₂, где n_k – коэффициент Пуассона, m_k – модуль сдвига, r_k – плотность (k = 1, 2). Здесь и в дальнейшем индекс k = 1 относится к массиву, а k = 2 – к ограждающему слою.

Поскольку рассматривается установившийся процесс, можно перейти к подвижной декартовой (x, y h = z – ct) или цилиндрической (r, q, h = z – ct) системе координат. Для описания движения массива и ограждающего слоя используем динамические уравнения теории упругости

, (1)

где M_pk = c/c_pk, M_sk = c/c_sk – числа Маха; , – скорости распространения волн расширения-сжатия и сдвига в массиве и ограждающем слое, ; – векторы смещений точек массива и ограждающего слоя, – оператор Лапласа.

Для описания движения несущего слоя воспользуемся классическими уравнениями теории тонких оболочек, которые в подвижной системе координат имеют подобный [5] вид

(2)

.

Здесь R= R₂; u_0h, u_0q, u_0r – перемещения точек срединной поверхности несущего слоя; n₀, m₀, r₀ – коэффициент Пуассона, модуль сдвига и плотность его материала; P_j(q,h) – составляющие интенсивности нагрузки P(q,h); – составляющие реакции ограждающего слоя, – компоненты тензоров напряжений в ограждающем слое, j = h, q, r.

Выразим векторы u_k через потенциалы Ламе

, (3)

которые, как следует из (1) и (3), удовлетворяют уравнениям

, (4)

где – орт оси , М_1k = М_pk, М_2k = М_3k = М_sk.

Через эти же потенциалы можно выразить компоненты тензоров напряжений в массиве и ограждающем слое , связанные с компонентами векторов перемещений законом Гука (l, m = r,θ,η, k = 1, 2; l, m = x,y,η, k = 1).

Рассмотрим вначале подвижную нагрузку с произвольной зависимостью от угловой координаты и изменяющуюся вдоль оси h синусоидально

; (5)

где константа x определяет период T = 2p/x действующей нагрузки.

Потенциалы Ламе представим в аналогичном виде: j_jk(r, q, h) = F_jk(r, q)e^ixh. Подставляя последнее выражение в (4), получим

(6)

где – двумерный оператор Лапласа, .

В дозвуковом случае M_sk < 1 (m_sk > 0, k = 1, 2), и решения уравнений (6) можно представить в виде [1,2]

, (7)

где:

- для массива

, ;

- для ограждающего слоя

, .

Здесь – соответственно модифицированные функции Бесселя и функции Макдональда, , , j = 1,2,3; g_j(x,z), – неизвестные функции и коэффициенты, подлежащие определению.

Как показано в [1,2], представление потенциалов для полупространства в форме (7) приводит к их следующим выражениям в декартовой системе координат:

, (8)

где .

Воспользуемся с учётом (8) граничными условиями на свободной от нагрузок поверхности полупространства:

при x = h .

Выделяя коэффициенты при e^iyζ и приравнивая, в силу произвольности y, их нулю, получим систему трёх уравнений, из которой выражаем функции g_j(ξ,ζ) через неизвестные коэффициенты :

. (9)

Вид определителя и алгебраических дополнений совпадает с аналогичными определителями для неподкрепленной полости в упругом полупространстве и определён в [1,2]. Там же показано, что не обращается в ноль при любых z, если скорость с бегущей нагрузки меньше скорости c_R рэлеевской волны в полупространстве.

Скорость c = c_R является точкой бифуркации решения задачи. При c ≥  c_R нарушатся единственность решения. Если отказаться от условия затухания решения на бесконечности позади транспортной нагрузки, то можно выделить единственное решение, затухающее на бесконечности впереди транспортной нагрузки, что соответствует физическим представлениям. В этом случае в тоннеле возникают свободные поверхностные волны, описывающие незатухающие колебания его обделки. Следует отметить, что в реальных средах рэлеевская скорость c_R несколько ниже (на 5¸10%) скорости волн сдвига.

Пусть . В этом случае все подынтегральные функции в (8) непрерывны и экспоненциально стремятся к нулю на бесконечности. С учетом (9), формулы (8) имеют вид

.

Используя известное при x < h соотношение [2]

представим (7) с учётом (9) в цилиндрической системе координат для

,

где , .

Подставив найденные для потенциалов соотношения в выражения для компонент напряженно-деформированного состояния (НДС) массива и ограждающего слоя, можно получить выражения для перемещений и напряжений (* означает, что данные компоненты соответствуют случаю действия на оболочку синусоидальной подвижной нагрузки), где неизвестными будут только коэффициенты (l, m = r,θ,η, k = 1, 2; l, m = x,y,η, k = 1).

Так как при действии на оболочку бегущей синусоидальной нагрузки в установившемся состоянии зависимость всех величин от h имеет вид (5), то

. (10)

Подставляя (10) в (2), для n-го члена разложения получим

(11)

,

где

;

при r = R₁: , j = h, q, r.

Разрешая (11) относительно u_0nh, u_0nq, u_0nr, находим

.

Здесь

;

для q_nj1 и q_nj2 индекс j = 1 соответствует индексу h, j = 2 – q, j = 3 – r.

Для определения коэффициентов воспользуемся следующими граничными условиями.

При скользящем контакте слоёв оболочки:

- для скользящего контакта оболочки с массивом

при r = R₁ , , , , , ,

при r = R₂ , , , , (12)

- для жёсткого контакта оболочки с массивом

при r = R₁ , ,

при r = R₂ , , , . (13)

При жёстком сопряжении слоёв оболочки:

- для скользящего контакта оболочки с массивом

при r = R₁ , , , , , ,

при r = R₂ , , (14)

- для жёсткого контакта оболочки с массивом

при r = R₁ , , (15)

при r = R₂ , .

Подставляя в (12)-(15) соответствующие выражения и приравнивая коэффициенты рядов при e^inq, для определенных граничных условий получим бесконечную систему (n = 0, ±1, ±2,…) линейных алгебраических уравнений блочно-диагонального типа с матрицами (9´9) вдоль главной диагонали, для решения которой рекомендуется использовать метод последовательных отражений (приближений) [1].

Зная решение задачи для синусоидальной нагрузки (5), реакцию оболочки и окружающей её среды на движущуюся с постоянной скоростью апериодическую (локальную) нагрузку характерного для транспортных средств вида P(q,h) = p(q)p(h) можно найти при помощи суперпозиции, используя представление нагрузки и компонент НДС массива и ограждающего слоя в виде интегралов Фурье

,

, ;

, (16)

, k = 1, 2.

Здесь .

Однако, в зависимости от соотношения скорости с бегущей нагрузки и x, подынтегральные функции в (16) могут иметь особенности, в том числе неинтегрируемые, что связано с наличием свободных волн в оболочке, встроенной в упругую среду [1,2,4,5]. При превышении скорости движения нагрузки критических скоростей, которые могут оказаться меньше, чем скорость волны Рэлея в окружающем упругом массиве, а также при дозвуковых скоростях, но превышающих рэлеевскую скорость, интегральные представления решения (16) будут иметь иной вид.

Литература:

1. Украинец В.Н. Динамика тоннелей и трубопроводов мелкого заложения под воздействием подвижных нагрузок. – Павлодар: НИЦ ПГУ им. С. Торайгырова, 2006. – 123 с.

2. Ержанов Ж.С., Айталиев Ш.М., Алексеева Л.А. Динамика тоннелей и подземных трубопроводов. – Алма-Ата: Наука, 1989. – 240 с.

3 Львовский В.М., Онищенко В.И., Пожуев В.И. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки в упругой среде под действием подвижной нагрузки //Сб.: Вопросы прочности пластичности. – Днепропетровск, 1974. – С. 98-110.

4. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. критическая скорость движущейся нагрузки в тоннеле, подкрепленном двухслойной оболочкой//Изв. АН СССР. Механика твердого тела. – 1987. – № 4. – С.156-161.

5. Алексеева Л.А., Украинец В.Н. Динамика упругого полупространства с подкрепленной цилиндрической полостью при подвижных нагрузках //Прикладная механика. – 2009. – № 9. – С.75-85.

Работа выполнена при поддержке гранта 0898/ГФ2, 0112РК02221 МОН РК.