Ш.А. БАЛГИМБАЕВА

Институт Математики, г. Алматы

ОЦЕНКИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ОПЕРАТОРА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ПО ИНФОРМАЦИИ О СПЕКТРЕ

Напомним общую постановку задачи восстановления. Пусть - некоторое множество в векторном пространстве . Про каждый элемент мы располагаем информацией , где - (однозначное)отображение (называемое информационным) из в другое векторное пространство . Информация об элементах из может быть задана неточно, и потому , вообще говоря, - многозначное отображение. Пусть, далее - нормированное пространство и - линейный оператор.

Задача заключается в том, чтобы восстановить по возможности наилучшим образом оператор на классе в метрике пространства по имеющейся информации . Любое отображение будем называть методом восстановления. Погрешностью этого метода называется величина

.

Задаче о приближении (вообще говоря неограниченного) оператора ограниченными линейными операторами на классах функций (задаче Стечкина С.Б. ) и родственным экстремальным задачам посвящено много работ. Отметим лишь, что ранее подробно исследовано наилучшее приближение операторов, инвариантных относительно сдвига в пространствах . Оператор дифференцирования также является инвариантным относительно сдвига.

Введем некоторые обозначения. Пусть - множества натуральных, целых, вещественных чисел соответственно; - множество всех неотрицательных целых чисел, - n-мерное евклидово пространство. Для , , как обычно, - скалярное произведение. Для мультииндекса через обозначим его длину. Обозначим .

Запись означает, что существуют константы .

Пусть - пространства Шварца всех бесконечно дифференцируемых быстроубывающих комплекснозначных функций и медленно растущих распределений (обобщенных функций) на соответственно, - пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в .

Преобразование Фурье обобщенной функции обозначим через . В частности, если , то

.

Известно, что представляет собой изоморфизм и на себя.

Обратное преобразование Фурье обозначим через .

Для рассмотрим сужение на как сужение обобщенной функции, т.е. как линейный непрерывный функционал над пространством .Обозначим данное сужение через .

Определение 1. Пусть . Тогда как обычно имеем

.

Определим пространства Никольского - Бесова (см., например, [1, 2]).

Определение 2. Функция принадлежит пространству , , если и для нее конечна полунорма ()

.

При этом полагаем .

Здесь - оператор m-й разности по -й переменной.

Нами рассматривается задача восстановления оператора дифференцирования в пространстве Никольского – Бесова .

В качестве информации о функциях используется сужение преобразования Фурье . Таким образом, предполагаются известными значения функционала на любых функциях из .

Отметим, что задача оптимального восстановления операторов на функциональных классах на основе информации о спектре рассматривалась в [3]. А именно, рассматривается задача оптимального восстановления функций и их производных по информации о спектре

Известно, что для любой обобщенной функции ее разложение в ряд Фурье по всплескам Мейера сходится к в топологии .

В качестве (линейного) метода приближенного восстановления оператора , использующего информацию о функции , будем рассматривать специальную «частную» сумму ее разложения в ряд по всплескам Мейера.

Сформулируем некоторые известные факты, которые использованы в работе.

1. Как известно ([1], стр. 295), функция

называется ядром Дирихле порядка в n-мерном непериодическом случае.

Ее преобразование Фурье имеет вид

.

Отметим, что обладает следующими свойствами, которые будут использованы ниже.

1) - целая функция экспоненциального типа по каждой переменной , принадлежит .

2) Свертка

для есть целая функция экспоненциального типа по каждой переменной и принадлежит .

При этом

,

где зависит только от и от .

3) слабо при .

Тогда регулярную в смысле функцию можно разложить в (слабо сходящийся) ряд

.

Верна теорема (см. [1])

Теорема А. Пусть - произвольное действительное число.

тогда и только тогда, когда регулярна в смысле и ее (сходящийся к ней слабо) ряд

,

где , таков, что

.

(с естественной метрикой при .)

2. Определим кратную систему одномерных всплесков Мейера (см., например, [4] или [5]).

Пусть - нечетная бесконечно дифференцируемая функция

- четная функция, такая что

Преобразование Фурье масштабной функции Мейера определяется как

откуда

.

Тогда

.

С помощью операций сдвига и растяжения определяем функции

.

Из определения видно, что

.

Ясно также, что всплески Мейера – это целые функции экспоненциального типа, принадлежащие .

Теперь введем -мерную систему всплесков Мейера следующим образом:

;

здесь пробегает все непустые подмножества множества , . Известно, что система всплесков образует безусловный базис в пространстве (см., например, [5]).

Верна теорема (см. [6])

Теорема В . Для любой ограниченной целой функции экспоненциального типа справедливо соотношение .

Здесь - проекционный оператор на подпространство .

В качестве метода приближенного восстановления оператора рассмотрим следующий оператор :

,

где

- коэффициенты Фурье по системе , а .

По формуле Планшереля для любых :

.

Из определения следует, что ; ясно также, что

,

.

Таким образом, метод использует информацию только о .

Основной результат настоящей статьи содержится в следующей теореме.

Теорема. Пусть , , , причем , где , - мультииндекс. Тогда для метода восстановления справедливы оценки:

Доказательство.

Приведем схему получения оценки сверху. Выше через

мы обозначили действие оператора дифференцирования на специальную «частную» сумму разложения в ряд по всплескам Мейера. Далее, для краткости будем обозначать . Тогда имеем

Рассмотрим норму разности , где - банахово пространство. Используя линейность операторов и применяя теорему B для - целой функции экспоненциального типа , на которой реализуется наилучшее приближение функции , получим:

Пусть . Функция , следовательно по теореме А справедливо представление . Очевидно, что , где . Теперь, используя эквивалентную нормировку, приведенную в теореме А и неравенство Бернштейна, получим оценку

.

Таким образом, оценка сверху получена.

При получении оценок снизу строятся "плохие" функции из единичного шара пространства , на которых реализуется порядок, комбинированием теоремы представления A и теоремы B.

ЛИТЕРАТУРА

1. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.,Наука., 1997. 456с.

2. Трибель Х. Теория функциональных пространств. М., Мир., 1986. 448с.

3. Магарил-Ильяев Г.Г., Осипенко К.Ю. Оптимальное восстановление функций и их производных по приближенной информации о спектре и неравенства для производных// Функциональный анализ и его приложения. 2003. Т.37. вып.3. с.51-64.

4. Meyer Y. Wavelets and operators. Cambridge Univ. Press, 1992.

5. Стечкин С.Б., Новиков И.Я. Основы теории всплесков// Успехи мат. наук. 1998. Т.53. вып.6(324). с. 54-128.

6. Новиков И.Я. Онделетты И.Мейера – оптимальный базис в // Мат. заметки. 1992. Т.52. вып.5. с. 88-92.