1.Дифференциальные и интегральные уравнения

Ж.Б. Муканов

Евразийский национальный университет им. Л.Н.Гумилева, г.Астана

ОБ ОДНОМ УСЛОВИИ ИНТЕГРИРУЕМОСТИ КОСИНУС ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ФУНКЦИЙ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ.

В работе рассматриваются вопросы интегрируемости двойного косинус преобразования.

Напомним, что двойное косинус преобразование для функции определяется равенством

Далее приводится достаточное условие интегрируемости двойного косинус-преобразования Фурье и справедливости формулы обращения.

Для функции одной переменной известно, что если и её косинус–преобразование

также принадлежит , то имеет место формула обращения

.

Но косинус–преобразование может быть неинтегрируемой функцией. Например, косинус-преобразование характеристической функции отрезка [0,1] не является интегрируемой.

Известна следующая теорема, доказанная Dang Vu Gians и Ferenc Moricz [1].

Теорема А. Пусть абсолютно непрерывная функция, определенная на , , и пусть для некоторого выполняется условие

. (1)

Тогда и имеет место формула обращения

(2)

для любого .

В той же работе доказано, что из этой теоремы в качестве следствия можно получить следующие утверждения для одномерных косинус-рядов.

Следствие А. Пусть коэффициенты ряда

, (3)

где , удовлетворяют при некотором условию

,

, . Тогда сумма ряда (3) принадлежит и ряд (3) является рядом Фурье функции . Следствие А ранее было доказано Г.А.Фоминым другим методом.

Кратный аналог теоремы Фомина для рядов по тригонометрической системе доказан А.Кузнецовой, для рядов Уолша - Морицем и Шиппом (1991 г.). Такие же вопросы для рядов по мультипликативной системе Прайса рассматривались Н.Сыздыковой.

Нашей целью является доказательство двумерного аналога теоремы А. Справедлива

Теорема 1. Пусть локально абсолютно непрерывна по каждой переменной и ее производные и также локально абсолютно непрерывны по каждой переменной, , , и для некоторого сходится интеграл

.

Тогда и имеет место формула обращения

для каждого .

Лемма А. ([1], стр. 338). Пусть локально -интегрируемая функция на при некотором . Тогда для любого имеет место неравенство:

. (4)

Теперь рассмотрим двумерный аналог леммы A.

Лемма 1. Пусть локально -интегрируемая функция. Тогда для любых и имеет место неравенство

.

Доказательство. На основании леммы А имеет место оценка

при любом и фиксированном . Следовательно, применяя лемму А еще раз, получим

.

Отсюда следует требуемая оценка. Лемма доказана. ■

Лемма 2. Пусть . Тогда для любого имеет место равенство

.

Доказательство. На основании теоремы Фубини, меняя пределы интегрирования, получим

.

Отсюда следует условие леммы 2.

Доказательство теоремы 1. Докажем, что . Для этого проинтегрируем внутренний интеграл.

.

Далее, интегрируя по частям интеграл , получим

.

Учитывая, что первое слагаемое в обращается в нуль, имеем

Далее, проинтегрировав это равенство, на основании лемм 1 и 2 получим

.

Следовательно, . Теорема 1 доказана.

В следующей теореме ответим на вопрос -интегрируемости с весом косинус-преобразования монотонно убывающей функции.

Теорема 2. Пусть - четная, монотонно убывающая функция, . Тогда, если

.

то

.

Для доказательства данной теоремы нам понадобится следующая

Лемма Б. (Неравенство Харди [2]). Пусть и -неотрицательная функция, определенная на . Тогда

.

Доказательство теоремы 2. Так как не возрастает и , то интеграл

сходится для любого . Разобьем данный интеграл на две части следующим образом

.

По второй теореме о среднем значении

.

Поэтому

и

.

Далее, так как не возрастает и , то интеграл

.

Выполним замену в интеграле . Тогда последний интеграл запишется в виде

.

Теперь проверим, что

.

Для доказательства последнего неравенства выполним замену в интеграле и применим к преобразованному интегралу лемму Б.

.

Теорема доказана.

Литература:

1. Dang Vu Gians, Moricz F. Lebesgue integrability of Fourier transforms //Acta Sci. Math. – 1995. – V.60, N1-2. – P.329-343.

2. Харди Г.Г., Литлвуд Дж.И., Полиа Г. Неравенства.-М.:Изд-во ЛКИ, 2008.-456с.