Рашевський М.О.

Криворізький технічний університет

ПРО АСИМПТОТИЧНЕ ІНТЕГРУВАННЯ МАЙЖЕ ДІАГОНАЛЬНИХ СИСТЕМ

Система диференціальних рівнянь вигляду

(1)

досліджувалась роботі [1] стосовно побудови її асимптотичного розв'язку на проміжку [0, L], L < ¥. Тут x(t, e, m) – невідомий вектор; e > 0 – малий параметр; h – ціле додатне число; A(t, m) – n ´ n – матриця, що допускає на [0, L] рівномірне асимптотичне розвинення за степенями дійсного малого параметра m > 0: . Вимагатимемо виконання такої умови.

1⁰. Матриці A_l (t) є нескінченно диференційовними на проміжку [0, L].

У припущенні про стабільність спектру матриці A₀(t) в роботі [1] побудовано n формальних частинних розв’язків, що відповідають власним значенням згаданої матриці. При наявності кратних власних значень необхідно враховувати співвідношення параметрів, розрізняючи випадки em ^– 1 « 1 та

me ^– 1 « 1.

У цій роботі досліджується питання про асимптотичні розв'язки системи із майже діагональною [2, 3] матрицею A(t, m) при наявності точки повороту (ТП) t = 0. Описана ситуація є наслідком умови

2⁰. Матриця A₀(t) подібна діагональній:

T^-1(t)A₀(t)T(t) = L(t) = diag{l₁(t), l₂(t),¼, l_n(t)},

причому власні числа l_k(t) матриці A₀(t) є різними на (0, L] і збігаються при t = 0, k = 1. 2, …, n; detT(t) ¹ 0.

Згідно з означенням [4] точка t = 0 є ТП, кратність якої дорівнює максимальній із кратностей нулів функцій l_i(t).

Розглядатимемо випадок h = 1. Підстановкою дістанемо систему

, (2)

де .

Подальшою підстановкою зведемо (2) до діагональної

, (3)

яка інтегрується у квадратурах. З’ясуємо питання про побудову матриці U(t, e, m) залежно від виконання кожної з таких умов.

3⁰. me ^– 1 « 1.

4⁰. em ^– 1 « 1.

Будуватимемо матрицю U(t,e,m) так, щоб задовольнити тотожність

(4)

За умови 3⁰ рівняння (4) розв’яжемо методами [2, 4], визначаючи невідомі матриці U_kl (t) зображення із системи рівнянь, отриманої з (4), де прирівнюючи коефіцієнти при степенях e^km^l, вважаємо eU ¢(t,e,m) вільним членом. Елемент невідомої матриці U_kl (t) визначиться як частинний розв’язок рівняння

,

де f(t, u) – лінійна відносно u функція, що містить визначені на попередніх кроках величини. З урахуванням оцінок [2, 4]:

, переконаємось у справедливості такого твердження.

Теорема 1. Якщо виконуються умови 1⁰ – 3⁰, то система (1) має розв’язок такий, що для m, n – наближення [1], що задовольняє умову , на проміжку [0, L] виконуватиметься нерівність

,

де , С – стала, що не залежить від e і m.

За умови 4⁰ для використання методів [2, 4] необхідно вимагати ще однієї досить жорсткої умови, а саме:

5⁰. Для числа k такого, що m^ke ^– 1 = O(1) або m^ke ^– 1 « 1 існує невироджена матриця T(t, m) така, що T^-1(t, m)(A₀(t) + mA₁(t) + … + m^k - 1A_k - 1(t))T(t, m) = L(t, m),

де L(t, m) = diag{l₁(t, m), l₂(t, m),¼, l_n(t, m)}, причому матриця T^-1(t, m)T ^¢(t, m) є рівномірно обмеженою в околі ТП.

Підстановкою дістанемо систему рівнянь, до якої можна застосувати метод [2]. На відміну від випадку 3⁰ розв’язок рівняння (4) будуватимемо у вигляді , що відповідатиме зображенню . Подальші міркування не відрізняються від попереднього випадку.

Зауваження. У разі невиконання умови 5⁰ або h > 1 систему (1) можливо розв’язати лише багатомасштабним методом [3].

Література:

1. Яковець В.П., Стрельніков М.А. Побудова асимптотичних розв’язків лінійних систем диференціальних рівнянь з двома малими параметрами. // УМЖ. – 2003. – 55, № 7. – С. 961–976.

2. Grimm L.J., Harris W.A. Solutions of a singularly perturbed differential system with turning points // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. Sec I. A.- 1989. - 36, №3.- P. 753-763.

3. Nakano M. On a system of linear ordinary differential equations with a turning point // Kōdai Math. Semin. Repts.- 1969. - 21, №1.- P. 1-15.

4. Wasow W. Linear Turning Point Theory. – N.Y.: Acad. Press, 1985. – 246 p.