Математика/4. прикладная математика

Нсангу М. М.

Российский университет дружбы народов, Москва, Россия

МОДЕЛЬ SIP-СЕРВЕРА В ВИДЕ СИСТЕМЫ С ПРОГУЛКАМИ И РАЗОГРЕВОМ ПРИБОРА

Построена модель сервера присутствия пользователей в сети 3-ого поколения (NGN), учитывающая особенности обслуживания сообщений уведомления типа Notify протокола SIP. Модель учитывает возможность группового поступления заявок сообщений, а также прогулку и разогрев обслуживающего прибора.

Ключевые слова: СМО, групповое поступление, прогулка, разогрев прибора.

Введение

Системы массового обслуживания (СМО) с отключением прибора [1, 2] имеют большое прикладное значение, в том числе в задачах анализа производительности серверов в сетях связи 3-го поколения. Предоставление услуги присутствия значительно увеличивает нагрузку в подсистеме IMS (IP Multimedia Subsystem) [3]. В работе проведен анализ модели функционирования сервера присутствия IMS в виде СМО с прогулками прибора на периодах простоя системы и разогрева (замедленное обслуживание) в момент восстановления работы прибора в обычном режиме.

1. Построение модели

Заявки поступают на прибор группами (пачками), поток групп заявок является пуассоновским с интенсивностью . В каждой группе приходит случайное число заявок с вероятностью того, что поступит ровно i заявок в одной пачке. Кроме того, предполагается, что пачка не может быть пустой, т.е. . Заявка, заставшая прибор в состоянии прогулки, занимает место в накопителе бесконечной емкости.

На рис. 1 показана диаграмма, поясняющая функционирование СМО, где показаны 3 группы состояний: (•,2) – нормальная работа прибора; (•,1) – прогулка прибора и (•,0) – разогрев прибора.

Обслуживание заявок в нормальном состоянии прибора осуществляется по экспоненциальному закону с параметром , а в состоянии разогрева – с параметром . В занятом состоянии прибор абсолютно надежен. По окончании обслуживания, если больше нет заявок в очереди, с вероятностьюсервер начинает прогулку и остается недоступным в этом состоянии даже при поступлении новых заявок. В противном случае, с вероятностью , прибор поступает в режим разогрева и начинает обслуживание заявок в порядке FCFS. Длительности прогулки и разогрева распределены по экспоненциальному закону с параметрами и соответственно. Если по окончании обслуживания заявки режиме разогрева система оказалась пустой, то прибор продолжает работать в этом же режиме, в противном случае прибор переходит в режим обслуживания заявок.

Рис. 1. Диаграмма интенсивностей переходов состояний СМО

Введем случайные процессы (СП) – число заявок в СМО и - номер состояния в котором находится сервер в момент времени t. Если , то прибор находится в режиме разогрева (группа состояний (•,0)); если , то на прогулке (группа состояний (•,1)), и если , то в режиме обслуживания (группа состояний (•,2)). Определим вероятности , составим для них систему уравнений равновесия (СУР) и, с учетом , получим следующие выражения для производящих функций числа заявок в очереди:

,,.

2. Вероятностно-временные характеристики системы

Из СУР следует, что стационарные вероятности состояния связаны следующими рекуррентными соотношениями:

; ;

.

Также получены следующие выражения для вероятностей , и :

;

; .

Имея выражения для вероятностей , и , и производящей функции , можно найти среднее время пребывания производной заявки по формуле Литтла:

,

где и первый и второй начальные моменты распределения числа заявок в пачке.

С различными длительностями продолжительности разогрева, диаграмма зависимости средней длины очереди от параметров разогрева представлена на рисунке 2.

Рис. 2. Средняя длина очереди от параметров разогрева

Отметить можно, что с помощью результатов , опуская значение вероятности , так чтобы и , можно установить формулы соответствующие упрощенной модели [1], при вероятности .

3. Выводы

В докладе представлены результаты исследования СМО типа с групповым поступлением заявок, прогулками прибора и разогревом на периодах простоя системы. Методы исследования модели позволяют найти вычислительный алгоритм для расчета стационарных вероятностей, а также производящие функции распределения числа заявок в СМО. Кроме того, получены формулы для расчета среднего числа заявок в системе и среднего времени ожидания в очереди.

Литература

1. Hongbo Zhang and Dinghua Shi, The M/M/1 Queue with Bernoulli-Schedule-Controlled Vacation and Vacation Interruption. International Journal of Information and Management Sciences 20 (2009), 579-587.

2. Servi, L. and Finn, S., M/M/1 queues with working vacations (M/M/1/WV), Perform. Eval., Vol.50, pp.41-52, 2002.

3. Chi C., Hao R., Wang D., Cao Z. IMS Presence Server: Traffic Analysis & Performance Modeling. // IEEE 1-4244-2507-5/08, – 2008.