«Экономические науки»/Математические методы в экономике

Добрикова К. А.

Донецкий Национальный Университет экономики и торговли

имени Михаила Туган – Барановского, Украина

Применение линейной алгебры в экономике

Модель Леонтьева многоотраслевой экономики

В настоящее время большое количество экономических работ посвящается модели Леонтьева многоотраслевой экономики. Эта модель хорошо отражает многие существенные особенности современного производства и в то же время сравнительно легко поддается расчету. Во многих странах мира балансовый метод используется для экономического анализа, планирования и прогнозирования.

Цель балансового анализа - ответить на вопрос, возникающий в макроэкономике и связанный с эффективностью ведения многоотраслевого хозяйства: каким должен быть объем производства каждой из n отраслей, чтобы удовлетворить все потребности в продукции этой отрасли? При этом каждая отрасль выступает, с одной стороны, как производитель некоторой продукции, а с другой - как потребитель продукции и своей, и произведенной другими отраслями. Связь между отраслями, как привило, отражается в таблицах межотраслевого баланса, а математическая модель, позволяющая их анализировать, разработана в 1936 г. американским экономистом В. Леонтьевым.

Рассмотрим применение модели Леонтьева для вычисления необходимого объема валового выпуска отраслей, если конечное потребление энергетической отрасли увеличится вдвое, а машиностроение сохранится на прежнем уровне.

В таблице 1 приведены данные об исполнении баланса за отчетный период в усл. ден. ед.:

Таблица 1:

Отрасль		Потребление		Конечный продукт	Валовой выпуск
		Энергетика	Машиностроение
Производство	Энергетика	8	22	70	100
	Машиностроение	13	16	121	150

Имеем:

x₁ – валовый выпуск отрасли энергетика, и он равен 100;

x₂ – валовый выпуск отрасли машиностроения, и он равен 150;

x₁₁ – потребление энергетики, в отрасли энергетика, и оно равно 8;

x₁₂ – потребление машиностроения, в отрасли энергетика, и оно равно 22;

x₂₁ – потребление энергетики, в отрасли машиностроения, и оно равно 13;

x₂₂ – потребление машиностроения, в отрасли машиностроения, и оно равно 16;

y₁ – конечный продукт в отрасли энергетика, и он равен 70;

y₂ – конечный продукт в отрасли машиностроения, и он равен 121.

x₁ = 100, x₂ = 150, x₁₁ = 8, x₁₂ = 22, x₂₁ = 13, x₂₂ = 16, y₁ = 70, y₂ = 121.

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:

a₁₁ = 8 / 100 = 0,08;

a₁₂ = 22 / 150 = 0,14;

a₂₁ = 13 / 100 = 0,13;

a₂₂ = 16 / 150 = 0,10.

Составляем матрицу:

A =

Т.е. матрица прямых затрат имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности:

max {0,08 + 0,13; 0,14 + 0,10} = max {0,21; 0,24} = 0,24 < 1.

Поэтому для любого вектора конечного продукта Y можно найти необходимый объем валового выпуска X по формуле X = (E - A)^-1 Y.

Напишем матрицу полных затрат S = (E - A)^-1:

E – A =

Так как |E - A| = (0.92 * 0.09) – ((-0.13) * (-0.14)) = 0,8098, то

S =

По условию вектор конечного продукта:

Y=

Тогда по формуле X = (E - A)^-1 Y получаем вектор валового выпуска:

X = 1/0,8098 =

Таким образом, валовой выпуск в энергетической отрасли надо увеличить до 88 усл. ед., а в машиностроительной - до 177 усл. ед.