Технические науки/2. Механика

 

Ободан Н.И., Адлуцкий В.Я.

Днепропетровский национальный университет им. Олеся Гончара, Украина

 ИДЕНТИФИКАЦИЯ ТРЕЩИН В ТОНКИХ ПЛАСТИНАХ

С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ  ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК

Существующие методы диагностики дефектов в тонкостенных системах базируются на анализе их динамических характеристик (ультразвук, вибродиа­гностика, электромагнитные колебания и т.д.). Связь этих характеристик с реальными свойствами системы определяется с помощью решения обратной динамической задачи механики деформируемого тела.

Рассматривается задача об определении геометрических параметров трещин в тонких пластинах по известным значениям  их частотных характеристик. Последние определяются с помощью конечно-элементной аппроксимации

                                           (1)

где (H) – i-я собственная частота колебаний пластины с трещиной; , – матрицы жесткости и масс;  – вектор -й собственной формы колебаний,  – вектор координат узлов вершин трещины;  – количество собственных частот. Вектор H является решением системы нелинейных уравнений

 ,                                                   (2)

где  – известные (измеренные) значения собственных частот колебаний пластины с трещиной. Линеаризация уравнений (2) позволяет применить для их решения итерационный метод Ньютона в виде

                                           (3)

где     . Соотношение (3) записано для общего случая  и обеспечивает минимум квадратичной нормы невязки для системы  линейных алгебраических уравнений

                                                                             (4)

с  неизвестными на каждой итерации.

i=15
 
В качестве примера рассматривается идентификация прямолинейной трещины в тонкой круговой пластине, жестко защемленной по контуру. Разыскивается 4-мерный вектор , где А и В – вершины трещины, Oxy– декартова система координат с началом в центре пластины. Параметры пластины выбраны следующим образом: радиус R=100 мм, толщина h=0.26 мм, модуль упругости кГ/мм2, коэффициент Пуассона , плотность кг/мм3. В качестве известных (измеренных) частот выбрано Q=50 первых собственных частот пластины с трещиной. На рис.1 представлены собственные формы колебаний для 5-й и 15-й частот.

i=5
 

 

Рис.1   5-я и 15-я собственные формы колебаний пластины с трещиной

Из соображений симметрии очевидно, что без дополнительной информации положение трещины может быть идентифицировано лишь с точностью до поворота вокруг центра О и/или зеркального отражения. На рис. 2 приведены результаты идентификации по частотам, соответствующим трещине АВ. При начальном приближении  после 10 итераций положение трещины   с точностью до 1% соответствует жесткому повороту трещины АВ. 

 

 

 

          Рис.2 Результаты идентификации после 10-й итерации

Определенное представление о поведении итерационного процесса в пространстве Н дает рис. 3, где приведены значения функционала невязки  = в гиперплоскости  для , соответствующих трещине  . В условиях очевидной овражной структуры с наличием локальных минимумов решение о достижении истинного минимума принимается исходя из уровня значений функционала невязки.

 

 

 

 

Рис.3 Значения функционала невязки в гиперплоскости

Характер сходимости итерационного процесса в указанной гиперплос­кости при начальных приближениях  и  приведен на рис. 4.

 

 

 

 

 

Рис.4 Характер сходимости итерационного процесса в гиперплоскости