Маслова С. В.

Мордовский государственный педагогический институт им. М. Е. Евсевьева

Глушкова С. Ю.

МОУ «СОШ № 35» г. Саранск

ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ

ЗАКОНОВ ПРИ ВЫПОЛНЕНИИ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ

СО СМЕШАННЫМИ ЧИСЛАМИ

В Примерной основной образовательной программе образовательного учреждения (основная школа), составленной в соответствии со стандартами второго поколения, сказано, что основное внимание в сфере развития регулятивных универсальных учебных действий уделяется формированию способности ставить новые учебные цели и задачи, планировать их реализацию, а также осуществлять выбор эффективных путей и средств достижения целей, вносить соответствующие коррективы в их выполнение. Рассмотрим некоторые пути практической реализации данных установок.

В математике средней школы одним из центральных является раздел «Обыкновенные дроби», внутри которого рассматривается сравнение, сложение и вычитание дробей с разными знаменателями, умножение и деление смешанных чисел, правильных и неправильных дробей.

Еще в начальной школе учащиеся знакомятся с такими математическими законами, как коммутативный (переместительное свойство), ассоциативный (сочетательное свойство), дистрибутивный (распределительное свойство). Покажем целесообразность применения данных законов при изучении раздела «Обыкновенные дроби».

Сложение смешанных чисел предлагается осуществлять следующим образом:

В данном случае используется ассоциативный закон сложения: (a+b)+c=a+(b+c) – сумма не зависит от группировки ее слагаемых. Возможно ли применение математических законов при умножении смешанного числа на дробь?

В учебниках математики, как известно, предлагается смешанное число превратить в неправильную дробь, а затем перемножить полученные дроби. Например:

Настолько сильно превалирует этот путь нахождения результата, что мы забываем про другой, более простой – с использованием дистрибутивного закона умножения относительно сложения: (a+b)∙c=a∙c+b∙c. Данный закон фактически расширяет правила действий со скобками. Опираясь на указанный выше закон, мы получаем следующее решение:

Нахождение значения выражения в данном случае более рационально, чем то, которое предлагается выше.

Сравним действия, выполняемые учеником при умножении смешанного числа на дробь: а) при использовании дистрибутивного закона умножения относительно сложения; б) при превращении смешанного числа в неправильную дробь. Например, требуется найти значение следующего выражения:

а) 

Для нахождения произведения смешанного числа и дроби первым способом ученик должен проделать следующее:

1) произвести деление в пределах таблицы умножения (32:4 и 8:4);

2) считать число, состоящее из целой и дробной частей.

б) 

Для того чтобы найти произведение смешанного числа на дробь вторым способом, необходимо:

1) произвести умножение двух двузначных чисел (32·17), которое выполняется либо письменно, либо с использованием калькулятора;

2) разделить трехзначное число на однозначное (552:4), которое устно тоже выполнить достаточно сложно;

3) выделить целую часть в неправильной дроби (), используя алгоритм письменного деления.

Рациональность первого способа нахождения результата не вызывает сомнения.

Но не всегда использование математических законов в процессе выполнения арифметических действий со смешанными числами целесообразно. Рассмотрим пример умножения смешанных чисел, используя запись смешанных чисел в виде неправильных дробей:

Применяя дистрибутивный закон умножения относительно сложения, мы получим один из следующих вариантов:

1) 

2) 

Даже по количеству произведенных операций два последних способа не рациональны в использовании.

Таким образом, можно сделать вывод о необходимости и в то же время целесообразности использования математических законов при выполнении арифметических действий со смешанными числами. Но, самое главное, к чему должен стремиться каждый учитель, – показать ученикам различные способы достижения одного и того результата и научить самостоятельно выбирать наиболее рациональный.