Васильева О.В.

 

Национальный Исследовательский Томский политехнический университет, Россия

 

Разработка математической модели магнитоплазменного ускорителя, используя электротехническую схему замещения и формализм Лагранжа

 

 


На рисунке 1 представлена упрощенная модель коаксиального магнитоплазменного ускорителя (КМПУ). Сгусток представляется как недеформируемая проводящая перемычка, ускоряемая силами магнитного давления собственных токов, протекающих в ускорителе через перемычку. Описывается метод сведения сложных процессов, происходящих в плазменном ускорителе, к представленной электротехнической схеме замещения. Таким образом, исследование процессов, происходящих в КМПУ, сводятся к исследованию переходных процессов в электротехнической схеме замещения.

Рис. 1. Упрощенная модель КМПУ: а) модель проводящей части плазменного ускорителя; б) сечение плазменного ускорителя; в) электротехническая схема замещения КМПУ

 

Для нахождения индуктивности катушки  воспользовались известным энергетическим определением: , где  - ток в катушке, - энергия магнитного поля [1].

В свою очередь, энергию магнитного поля определили: , где  - векторный потенциал поля, - вектор плотности тока, - объем, занятый токами.

Основное расчетное уравнение: .

Для получения индуктивности катушки последняя формула свелась к выражению:

 ,                           (1)         

где  - площадь сечения;  -  внутренний радиус;  - высота обмотки;  - ширина обмотки; - нижний предел интегрирования по оси ;  - функция распределения векторного потенциала; - радиус элементарной кольцевой трубки тока; - переменная интегрирования вдоль оси ; - сечение элементарной кольцевой трубки тока.

При наличии четырех колец в индукторе в соответствии с рис. 2 и формулой (1) индуктивность индуктора равна: .

Рис. 2. Сечение индуктора

 

Индуктивность коаксиальной системы жгут-электрод  записана в виде линейной функции координаты распространения:

.

Постоянный коэффициент  при координате  называется погонной индуктивностью (индуктивность единицы длины). После подстановки необходимых величин получена величина погонной индуктивности: .

Расчет поля векторного потенциала проведен на основе метода конечных элементов [2]. Результаты расчетов приведены ниже (рис. 3).

       

а                                      б

Рис. 3. Расчет поля векторного потенциала : а) пространственное распределение векторного потенциала  индуктора; б) линии равного векторного потенциала

 

Пользуясь электротехнической схемой замещения ускорителя, и используя формализм Лагранжа, получено уравнение для электромеханической системы.

Система нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка нами решена численно методом Рунге-Кутта с фиксированным шагом, для повышения точности расчета она предварительно была сведена к системе дифференциальных уравнений первого порядка:

     в векторной форме,

здесь – вектор состояния содержит следующие компоненты: – координату,  – скорость,  – ток, – напряжение на конденсаторе; – масса, – индуктивность, – сопротивление плазмы, – расширенная матрица.

В качестве правильности работы алгоритма расчета проведена проверка баланса энергии рассматриваемой системы (рис. 4).

Огромное магнитное давление  приводит к скоростям порядка . При электродинамическом ускорении часть энергии трансформируется в кинетическую энергию: .

Наличие реактивных элементов  обуславливает взаимное преобразование электрической энергии в магнитную энергию и наоборот:

.

В результате такого преобразования энергия рассеивается на преодолении сил трения и сопротивления, возбуждения ударных волн и т.д. Даже при незначительных омических сопротивлениях плазмы порядка:  за счет больших токов в тепло преобразуется энергия: .

Теперь можно записать баланс энергии в виде растрат электростатической энергии заряженного конденсатора:

               (2)

 

Рис. 4. Схема распределения энергии в плазменном ускорителе без учета эрозии

 

Представлен промежуточный этап разработанной математической модели КМПУ.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Морозов А.И. Введение в плазмодинамику. – М.: Физматлит, 2008. – 613 с.

2. Колесников П.М. Электродинамическое ускорение плазмы. – М.: Атомиздат, 1971. – 388 с.