Математика / 5. Математическое моделирование

Киселева И.Н.

Зыряновский центр Восточно-Казахстанского государственного

технического университета, Казахстан

Использование метода Монте-Карло

при моделировании риска

Проблема риска тесно переплетается с теорией и практикой прогнозирования. Одним из количественных методов определения величины риска является умножение вероятности нежелательного события на вероятную величину последствий свершения нежелательного события. В абсолютном выражении риск определяется величиной возможных потерь в материально-вещественном или стоимостном выражении; в относительном как величина возможных потерь, отнесенных к одному из следующих показателей: стоимость основного и оборотного капитала, себестоимость и прибыль.

Таким образом, риск обусловлен возможностью возникновения некоторого уровня потерь и вероятностью их возникновения.

Инвестиционные риски представляют собой совокупность множества рисков, связанных с процессом инвестирования капитала и активов в различные формы проектов отрасли, они разделяются на две группы:

· Риски прямых капитальных вложений представляют собой совокупность рисков, с которыми сталкиваются инвесторы при осуществлении финансирования проектов. Проектные риски наиболее многочисленны и разнообразны, что зависит от числа факторов их вызывающих. Факторы удобно классифицировать в зависимости от времени возникновения в ходе реализации инвестиционного проекта. На этом основании выделяют риски периода строительства и риски эксплутационной стадии.

· Риски портфельных инвестиций связаны с формированием инвестиционного портфеля из различных активов предприятий.

На начальном этапе принятия решения мы не знаем  с достоверностью 100% ни величину получаемого в будущем результата, ни величину потенциальных будущих затрат.

Появляется «неопределенность», которую мы должны учитывать в наших расчётах, иначе просто получим неверное решение.  Как правило, эта проблема возникает в инвестиционных расчётах при определении эффективности инвестиционного проекта (ИП), когда инвестор вынужден определить для себя на какой риск он готов пойти, чтобы получить желаемый результат, при этом решение этой двухкритериальной задачи осложняется тем, что толерантность инвесторов к риску индивидуальна.

Поэтому критерий принятия инвестиционных решений можно сформулировать следующим образом: ИП считается эффективным, если его доходность и риск сбалансированы в приемлемой для участника проекта пропорции, и формально представить в виде выражения:

Эффективность ИП = {Доходность; Риск}

Однако в ситуации «неопределенность» невозможно с уверенностью на 100%  говорить о величине  результатов и затрат, поскольку они ещё не получены, а только ожидаются в будущем, поэтому появляется необходимость внести коррективы в данную формулу, а именно:

Таким образом, в этой ситуации появляется новый фактор – фактор риска, который необходимо учитывать при анализе эффективности ИП.

Всё множество изученных методов расчёта риска можно сгруппировать в несколько подходов:

Первый подход: риск оценивается как сумма произведений возможных ущербов, взвешенных с учетом их вероятности.

Второй подход: риск оценивается как сумма рисков от принятия решения и рисков внешней среды (независимых от наших решений).

Третий подход: риск определяется как произведение вероятности наступления отрицательного события на степень отрицательных последствий.

Будем рассматривать риск как возможность (Р) потерь (R), возникающую вследствие необходимости принятия инвестиционных решений в условиях неопределённости. Степень этой возможности можно характеризовать различными критериями:

-вероятность наступления события;

-величина отклонения от прогнозируемого значения (размах вариации);

-дисперсия; математическое ожидание; среднее квадратическое отклонение; коэффициент асимметрии; эксцесс, а также множеством других математических и статистических критериев.

Поскольку неопределённость может быть задана различными её видами (вероятностные распределения, интервальная неопределённость, субъективные вероятности и т. д.), а проявления риска чрезвычайно разнообразны, на практике эффективнее использовать матожидание и среднее квадратическое отклонение как наиболее адекватные критерии. Кроме того, при оценке риска следует учитывать индивидуальную толерантность к риску (y), которая описывается кривыми индифферентности или полезности. Таким образом, риск будем рассматривать как некоторую функцию с тремя параметрами:

Риск = {Р; R; y }

где P - вероятностная величина, R - расчетная величина риска, y - индивидуальная.

Рассмотрим R, как систему факторов, проявляющихся в виде комплекса рисков (угроз), индивидуальных для каждого участника ИП, как в количественном так и в качественном отношении. Эту систему можно представить в следующем виде:

Таким образом, риск ИП представляет собой сложную систему с многочисленными взаимосвязями, проявляющуюся для каждого из участников ИП в виде индивидуальной комбинации – комплекса.

Для каждого следует рассматривать вероятность возникновения .

Объективный метод определения вероятности основан на вычислении частоты, с которой происходят некоторые события. Частота при этом рассчитывается на основе фактических данных. Так, например, частота возникновения некоторого уровня потерь в процессе реализации инвестиционного проекта может быть рассчитана по формуле:

P(A)=n(A)/n;
где P - частота возникновения некоторого уровня потерь;

n(A) - число случаев наступления этого уровня потерь;

n - общее число случаев в статистической выборке, включающее как успешно осуществленные, так и неудавшиеся инвестиционные проекты.

Субъективная вероятность является предположением относительно определенного результата, основывающемся на суждении или личном опыте оценивающего, а не на частоте, с которой подобный результат был получен в аналогичных условиях. Различная информация или различные возможности оперирования с одной и той же информацией объясняют широкое варьирование субъективных вероятностей. Вероятность, равная нулю, означает невозможность наступления конкретного события; вероятность, равная единице, - непременное наступление события. Сумма вероятностей всех возможных вариантов равна единице.

Анализируя и сравнивая варианты инвестиционных проектов, инвесторы действуют в рамках теории принятия решений. Поэтому при расчете возможных рисковых ситуация следует применять методы моделирования ситуаций, рассмотрим имитационное моделирование по методу Монте-Карло (Monte-Carlo Simulation), которое позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта. Его можно рассматривать как процесс, состоящий из четырех этапов:

1. качественный анализ;

2. количественный анализ;

3. минимизация риска;

4. контроль рисков.

Моделирование по методу Монте-Карло позволяет построить математическую модель для проекта с неопределенными значениями параметров, и, зная вероятностные распределения параметров проекта, а также связь между изменениями параметров (корреляцию) получить распределение доходности проекта. Блок-схема, представленная на рисунке отражает укрупненную схему работы с моделью.

Рассмотрим стандартный метод моделирования вероятности появления риска, как метод моделирования дискретной случайной величины. Для решения задач методом Монте-Карло необходимо получать на компьютере последовательность выборочного значения случайной величины с заданным распределением.

Случайные величины обычно моделируются с помощью преобразований одного или несколько независимых значений случайного числа равномерно распределенного в интервале {0,1}. Таким образом, модель дискретной случайной величины основана на следующем соотношении:

где

Определение m для заданного значения может быть реализован по блок- схеме:

Дискретные случайные величины являются целочисленными и связаны между собой рекуррентными формулами:

Представим моделирование случайной величины в виде блок- схемы:

Случайные величины и можно не сохранять для дальнейшего использования.