Общие принципы адаптивного прогнозирования по одномерным временным рядам хотя и могут быть перенесены на многофакторные модели, но детали их конкретной реализации имеют свои особенности, порождаемые многомерной структурой взаимосвязей в решаемых задачах. Эти особенности касаются не только алгоритмов и методов адаптивного многофакторного моделирования, но и вопросов содержательной интерпретации результатов этого моделирования. Дело в том, что при построении многофакторных моделей появляется естественное желание использовать их не только в прогнозных, но и в аналитических целях. А это, как известно, предъявляет повышенные требования к экономическому смыслу результатов моделирования. Поэтому возникает вопрос о выборе наиболее приемлемого метода, так как большинство процедур адаптивной фильтрации и адаптивного прогнозирования процессов с несколькими входами и одним выходом (случай многофакторной регрессии) разработано с ориентацией на технические приложения. В отличие же от экономических приложений, где, как уже неоднократно отмечалось, главенствовать должна содержательная интерпретация, в технике преобладают критерии быстродействия проводимых расчетов скорости сходимости к оптимальным значениям параметров и ряд других. В этой связи даже в тех случаях, когда нет принципиальных трудностей для заимствования подходящего метода из многообразия методов подобной ориентации, практическая польза от формальной компиляции часто оказывается незначительной, так как те свойства, во имя которых разрабатывался метод, в экономических приложениях могут оказаться бесполезными. Все это сужает круг адаптивных методов, которые имеет смысл применять в прикладных экономических исследованиях.

Учитывая перечисленные обстоятельства, а также необходимость сохранения хотя бы части того богатого опыта, который накоплен экономико-статистическими исследованиями, особое внимание следует уделить методу наименьших квадратов. Этот метод является основным инструментом, с помощью которого строятся регрессионные зависимости между экономическими показателями. Его модификации (косвенный МНК, двухшаговый и трехшаговый МНК) успешно используются в эконометрике для построения структурных моделей. Поэтому ниже основное внимание будет уделено адаптивному варианту МНК.

Прежде чем рассмотреть адаптивные многофакторные модели, приведем схемы рекуррентного метода наименьших квадратов (РМНК), лежащих в основе построения этих моделей. Благодаря совместному использованию рекуррентной схемы оценивания и процедуры экспоненциального сглаживания удается построить прогнозные модели, в которых, по сути, реализованы основные принципы адаптации.

Изложим, сначала одношаговую схему РМНК[2]. Для этого введем следующие обозначения:

n – объем выборочной совокупности;

m – число независимых переменных моделей;

–i-я вектор-строка независимых переменных;

– матрица из независимых переменных.

Чтобы понять как формируется матрица системы нормальных уравнений, запишем выражение для произведения вектора-столбца на вектор-строку

[2].

Используя данное представление, можно записать схему вычисления матрицы системы нормальных уравнений следующим образом:

[2].

Такая схема формирования матрицы делает понятной запись

[2].

Аналогично можно записать

[2].

где y_n – вектор-столбец из n зависимых переменных.

Рассмотрим линейную регрессионную модель

(1.1) [2].

где b – вектор-столбец коэффициентов модели,

ε – вектор-столбец ненаблюдаемых случайных составляющих.

Предположим, что уже получены оценки ее коэффициентов по данным выборочной совокупности из (n – 1) наблюдения. Требуется в ситуации, когда в выборочную совокупность добавлено новое наблюдение , пересчитать оценки коэффициентов регрессии, используя для этого ранее полученные оценки . Такие ситуации возникают при обработке очень больших массивов данных, когда их хранение вызывает определенные затруднения, а также, как уже отмечалось, в тех случаях, когда по смыслу решаемой задачи требуется последовательная обработка вновь поступающих наблюдений.

В рассматриваемой ситуации формулу для вычисления вектора оценок коэффициентов регрессионной модели можно записать следующим образом:

(1.2) [2].

Для удобства обозначим

.[2].

Далее будем использовать формулу Шермана-Моррисона для рекуррентного обращения матриц

(1.3) [2].

Используя формулу (1.3), выражение (1.2) можно переписать в виде

Перегруппируем члены полученного выражения

Объединив второй и третий члены и вынеся общие множители и , а также выполнив умножение в последнем члене выражения, получаем

[2].

Окончательно, выполнив приведение к общему знаменателю в квадратных скобках, получаем

[2]. (1.4)

Полученная формула позволяет осуществлять пересчет оценок рекуррентно по мере появления новых наблюдений. С ее помощью реализуются основные идеи построения адаптивных многофакторных регрессионных моделей.

На первом этапе необходимо определить влияющие и результирующие факторы. Предварительно рассмотрим такие факторы, какчисленность населения, численность трудоспособного населения, среднегодовая численность занятых в экономике, потребительские расходы в среднем на душу населения, сальдированный финансовый результат, инвестиции в основной капитал, индекс потребительских цен.

Значения факторов собраны за 12 лет. Далее проведем корреляционный анализ всех факторов.

Наибольшую связь с валовым региональным продуктом имеют стоимостные показатели.

Обнаружена очень тесная взаимосвязь с потребительскими расходами в среднем на душу населения (в месяц). Также инвестиции в основной капитал имеют стимулирующее воздействие на рост ВРП в текущем и дальнейшие периоды. Сальдированный финансовый результат деятельности предприятий является интегрированным показателем деятельности экономических единиц, включающих как промышленное производство, так и сферу услуг и сельское хозяйство. И, по сути, во многом пересекается с показателем ВРП, поэтому уровень взаимосвязи довольно высокий и устойчивый, находится в пределах 0,93.

Необходимо отметить разделение стоимостных и натуральных показателей и невозможность сравнения ВРП с социально-экономическими показателями, выраженными в натуральной форме. Оценить воздействие изменений именно валового регионального продукта на социально-экономические показатели представляется затруднительным ввиду наличия такого фактора, как численность населения. Для этого необходимо исключить воздействие изменений численности населения. Это можно сделать при рассмотрении конкретного региона и взятых исходных данных в совокупности за годы. Таким образом, численность населения будет относительно стабильна, и воздействие этого существенного фактора не будет сказываться.

 Далее на основе одношаговой схемы рекуррентного МНК построена трехфакторная модель:

где: х₁ – потребительские расходы в среднем на душу населения;

х₂ – сальдированный финансовый результат;

х₃ – инвестиции в основной капитал.

Коэффициент детерминации равен 0,9969. Это означает, что 99,69% вариации ВРП определяется вариацией данных факторов. Оставшиеся 0,21% вариации результата сформировались под влиянием прочих причин, роль которых весьма незначительна. Таким образом, модель считается приемлемой.

Список используемой литературы

1.Официальный сайт федеральной государственной службы статистики. Режим доступа: www.gks.ru

2.Статистические методы прогнозирования в экономике: Учебное пособие, практикум, тесты, программа курса/ Дуброва Т.А.; руководство по изучению дисциплины/ Дуброва Т.А., Архипова М.Ю. Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. — М., 2004. — 136 с.