К.ф.-м.н. Сериков В.И., к.ф.-м.н. Воронин С.В.

Липецкий государственный технический университет, Россия

Квантовый подход к построению трёхмерного уравнения Бюргерса.

В предыдущих работах [1,2] нами было рассмотрено обобщённое 3+1-мерное и 4-мерное уравнения Бюргерса и переход от этих уравнений к уравнению Шрёдингера и модифицированному уравнению Клейна-Гордона. Представляет интерес последовательный переход от уравнений Шрёдингера и модифицированного уравнения Клейна-Гордона к обобщённому уравнению Бюргерса. В настоящей работе мы рассматриваем построение 3+1 мерного обобщённого уравнения Бюргерса, взяв в качестве исходных эти уравнения. Для этой цели уравнение Шрёдингера для свободной частицы запишем в виде:

                                                         (1)

где  - оператор Шрёдингера, а ,  – компоненты оператора импульса, С – релятивистская константа,  – оператор Гамильтона. Записывая волновую функцию в виде , представим уравнение Шрёдингера в форме

.                                (2)

Применяя к (2) оператор  и преобразование Хопфа – Коула , где  – комптоновская длина, запишем уравнение (2) в виде

                            (3)

Поскольку , то из (3) получаем 3+1 мерное обобщённое уравнение Бюргерса

     .                                          (4)

Легко видеть, что замена оператора  оператором , отвечающим частице во внешнем потенциальном поле , приводит к обобщённому уравнению Бюргерса вида

.                                 (5)

Для заряженной частицы без спина гамильтониан имеет вид

.                                        (6)

Производя такие же преобразования, как и в уравнениях (2) и (3) получаем обобщённое уравнение Бюргерса в форме

                                     (7)

.

Рассмотрим теперь уравнение Шрёдингера для заряженной частицы со спином в электромагнитном поле:

.                               (8)

В этом случае волновая функция является спинором и имеет вид , который можно записать в экспоненциальной форме . Выберем, стандартно, оси координат таким образом, чтобы ось oZ совпадала с направлением напряжённости магнитного поля H. Тогда вектор напряжённости магнитного поля будет иметь только одну проекцию отличную от нуля H=(0,0,Hz). Уравнение (8) принимает вид

.                   (9)

Выполняя все необходимые действия, запишем уравнения для компонент спинора

,                       (10)   

.                       (11)

Для кулоновской калибровки векторного потенциала  член, содержащий  в уравнениях (10) и (11) исчезает, а в случае лоренцевой калибровки его можно заменить на  . Применяя к обеим частям уравнений оператор и преобразование Хопфа – Коула , s = 1,2 из уравнений (10) и (11) получаем

,                                (12)

 

.                                            (13)     

В тех случаях, когда отличны от нуля все проекции вектора H уравнения (12) и (13) принимают более сложный вид:

                             ,   (14)

 .                    (15)

Здесь введено обозначение  для преобразования Хопфа – Коула. Представляет также интерес применение процедуры, приводящей к обобщённым уравнениям Бюргерса, к модифицированному уравнению Клейна - Гордона для свободной частицы, которое можно записать в форме [3]

.                                                 (16)

Представляя волновую функцию Ψ в экспоненциальной форме, представим уравнение в виде

.                                                 (17)

Применяя в уравнении (17) обобщённое преобразование Хопфа – Коула

,                                  (18)

Действуя оператором  на левую и правую части уравнения (18), получаем

,                                     (19)

где  и по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. Уравнение (19) является 4-мерным обобщением уравнения Бюргерса.

Запишем модифицированное уравнение Клейна – Гордона для бесспиновой частицы во внешнем скалярном поле  

,                                          (20)

Применяя тот же метод, что и выше, приходим к обобщённому уравнению вида:

.                          (21)

Для бесспиновой заряженной частицы во внешнем электромагнитном поле модифицированное уравнение Клейна – Гордона запишем в форме:

.                       (22)

Вводя компоненты оператора 4-импульса в электромагнитном поле , ,  , уравнение (22) можно представить в форме

,                                               (23)

далее, действуя так же, как и в случае уравнения (20), получим уравнение вида

;                      (24)

Таким образом, 3+1-мерные обобщённые уравнения Бюргерса следуют из уравнений Шрёдингера для всех рассмотренных случаев, а 4-мерные уравнения следуют из модифицированных уравнений Клейна – Гордона, которое в нерелятивистском пределе переходит в уравнение Шрёдингера. Отметим здесь, что нерелятивистское уравнение Бюргерса - Шрёдингера рассматривалось в работе [4] другим методом, но только для 1+1 мерного уравнения и без введения полей.

 

Литература:

 

1.                 Сериков, В.И. Связь обобщённого уравнения Бюргерса с уравнениями квантовой теории [Текст]:/ В.И.Сериков, С.В.Воронин, О.А.Воронина// Найновите постижения на европейската наука: Материалы VIII международной научно - практической конференции (17 -25 июня 2012 г.). Т.18. – София, 2012. – С.16-19.

2.                 Сериков В.И. Иерархия волновых уравнений от обобщения уравнения Бюргерса к уравнениям квантовой теории [Текст]:/В.И.Сериков, С.В. Воронин, О.А. Воронина// Veda a Technjljgie: Krok do budoucnosti-2014: Материалы X научно – практической конференции (27.02.2014 – 05.03.2014). Т.29. – Praha, 2014. – С.77 – 81.

3.                 Сериков В.И., Релятивистское уравнение Шрёдингера и принцип соответствия. [Текст]:|/ Сериков В.И., Воронин С.В., Воронина О.А.//, Вести учебных заведений Черноземья. №1(11) – 2008, стр.50 – 55.

4.                 Pashaev Oktay K. Relativistic Burgers and Nonlinear Schrődinger Equations [Текст]:/ Oktay K. Pashaev, arXiv:0901. 1399v1 [math-ph]10 Jan 2009.// (интернет ресурс).