К. ф.-м. н. Касьянюк В.С.

КНУ им. Т. Шевченко, Киев, Украина

Об использовании метода парето-оптимальной интерполяции линейных функционалов в задаче спектрального оценивания

Рассматривается задача восстановления функции на по ее коэффициентам Фурье

, , (1)

известным со случайными погрешностями , , , , * - символ транспонирования и комплексного сопряжения. Традиционно [1] функцию восстанавливают как -ю частичную сумму ряда Фурье с коэффициентами

, .

При этом представляет собой некоторый линейный функционал, который можно интерпретировать как выход функции с линейного прибора с некоторой аппаратной функцией. В самом деле,

, (2)

где

, (3)

обозначает функцию Дирихле.

Поскольку аппаратная функция (3) при небольших имеет значительные боковые лепестки и достаточно широкий главный лепесток, возникает явление Гиббса, существенно искажающее как оценку . Кроме того, задача суммирования рядов Фурье с погрешностями в данных относится к классу некорректных задач [2]. В данном случае оценка (2) содержит шумовой фон , уровень которого определяется величиной , неубывающий с ростом . Более того, если все , то как бы мало ни было , при . Поэтому для качественного восстановления функции по конечному числу коэффициентов Фурье (1) возникает проблема подавления и артефактов, возникающих из-за ограниченности , и шумового фона, порожденного случайными погрешностями в данных..

В качестве оценки, удовлетворяющей этим условиям, предлагается принять результат редукции коэффициентов Фурье к выходу функции с линейного прибора с «хорошей» аппаратной функцией , лишенной недостатков функции Дирихле. При этом следует учитывать влияние шумовой компоненты и позаботиться об уменьшении уровня шумового фона искомой оценки. Этой цели отвечает парето-оптимальная интерполянта [3] функционала по значениям функционалов (1), содержащим случайные погрешности , которая строится в ходе решения двукритериальной задачи минимизации по Парето шумового фона искомой интерполянты и ее операторной невязки, характеризующей смещение.

Парето-оптимальная интерполянта функционала по данным (1) с , имеет вид

, , , , , , - знак транспонирования, - единичная матрица размерности , и оценка принимает вид

. Введя обозначение , получаем оценку в виде

, (4)

Парето-оптимальная интерполянта (4) содержит шумовой фон уровня , который с ростом от до убывает от до нуля [3]. Ядро парето-оптимальной интерполянты (4) имеет вид

, и его отклонение от ядра функционала оценивается величиной операторной невязки [3] , которая с ростом от до возрастает от до . Операторная невязка косвенно характеризует величину артефактов парето-оптимальной интерполянты . Непосредственной подстановкой несложно показать, что уровень шумового фона и операторная невязка связаны соотношением , которое естественно назвать «законом сохранения». Таким образом, уменьшение величины операторной невязки приводит к возрастанию величины шумового фона и наоборот. Зависимость представляет собой множество Парето рассматриваемой задачи двукритериальной минимизации.

Приведем примеры парето-оптимальных интерполянт функционала для конкретных аппаратных функций . Пусть =, где

причем 1) =,

2) ,

3) .

Тогда после замены переменных принимает вид

или

,

Парето-оптимальная интерполянта (4) при имеет вид

, , . (5)

Оценка (5) при (в отсутствие шумов) совпадает с традиционной спектральной оценкой в виде отрезка ряда Фурье с коэффициентами «спектрального окна» [4]. Следовательно, задача редукции коэффициентов Фурье к выходу с заданного прибора сводится к суммированию с весами – «спектральными окнами», причем за счет выбора в полученных оценках шумовой фон можно подавить до нужного уровня.

Приведем некоторые конкретные аппаратные функции и вычислим соответствующие им «спектральные окна».

1) ,

,

( в этом случае , и мы получаем оценку усредненного по интервалу значения по данным (1)).

2) ,

, ,

3) ,

, ,

4) ,

,

( в случаях 2) – 4) получаем оценку усредненного по интервалу значения с весами ).

Если , то , и принимают вид

1), 2) ,

3) , 4) ,

.

Замечание. Построенное семейство парето-оптимальных интерполянт (4) зависит от параметра Парето . С точки зрения решения рассматриваемой двукритериальной задачи минимизации операторной невязки и уровня шумового фона все оценки (4) равнозначны. Однако с изменением величины один из критериев возрастает, другой убывает. Поэтому для выбора конкретного значения параметра парето-оптимизации эксперт (лицо, принимающее решение) анализирует множество Парето – зависимость , и определяет, что предпочтительней: уменьшить влияние шумовой компоненты, при этом возрастет искажение артефактами, порожденными неполнотой данных, или наоборот.

Для выбора подходящего значения параметра Парето можно воспользоваться также принципами многокритериальной оптимизации [3], позволяющими реализовать компромисс между противоречивыми тенденциями критериев оптимизации.

Таким образом, в данной работе предложен оптимальный метод суммирования рядов Фурье по данным с погрешностями, основанный на парето-оптимальной редукции данных к выходу с заданного прибора. Указаны приемы подавления артефактов -й частичной суммы ряда, возникающих из-за ограниченности , и уровня шумового фона этой суммы из-за случайных погрешностей коэффициентов. Одновременно с этим осуществляется сглаживание частичных сумм за счет их усреднения с подходящими весовыми коэффициентами, откуда, как частный случай, следует суммирование рядов Фурье методом «спектральних окон».

Литература

1. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Т.1. Изд-е 5-е / Фихтенгольц Г.М. – М.: Наука, 1964. – 440 с.

2. Тихонов А.Н. Методы решения некорректных задач. / Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. – М.: Наука, 1979. – 288 с.

3. Бєлов Ю.А. Математичні методи і алгоритми обробки в задачі інтерпретації непрямих вимірювань / Бєлов Ю.А., Касьянюк В.С. – К.: Науковий світ, 2000. – 79 с.

4. Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразование Фурье / Хэррис Ф.Дж. // ТИИЭР, т.66, №1,1978, с.60-96