_{А. Кадиримбетова}

_{Таразский государственный университет им. М.Х.Дулати, Казахстан}

_{НЕЛИНЕЙНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ТЕПЛОВЫМ ПРОЦЕССОМ, ОПИСЫВАЕМЫМ ФРЕДГОЛЬМОВО ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЕМ}

_.

_{Исследована задачи нелинейного граничного управления тепловым процессом, описываемым фредгольмово интегро-дифференциальным уравнением. Указан алгоритм построения приближенного решения задачи оптимизации и доказан его сходимость.}

_{Ключевые слова: Функционал, краевая задача, граничное управление, оптимальное управление, нелинейное интегральное уравнение, приближенное решение, сходимость.}

I. Постановка задачи оптимизации и нелинейное интегральное уравнение оптимального управления

В статьях [1-2] рассмотрена задача нелинейной оптимизации, где требуется минимизировать квадратичный функционал

(1)

на множестве решений краевой задачи

(2)

(3)

(4)

Здесь функция -описывает состояния управляемого процесса, ядро –известная функция, определенная в квадрате и удовлетворяющая условию

(5)

-заданные функции, причем функция нелинейно зависит от функции управления и по функциональной переменной монотонна, т.е.

(6)

параметр, постоянная ,-фиксированный момент времени,-гильбертово пространство функций, определенных на множестве _.

Решение краевой задачи определяется по формуле

где -решение линейного интегрального уравнения

,(7)

с ядром

(8)

_{и свободным членом}

(9)

Коэффициенты Фурье находим по формуле [3]

где резольвента ядра имеет вид

(11)

и при выполнении условия

, (12)

является непрерывной функцией, а также удовлетворяет оценке

,. (13)

Установлено, что оптимальное управление определяется как решение нелинейного интегрального уравнения

, (14)

где

₍₁₅₎

₍₁₆₎

(17)

удовлетворяющее дополнительному условию

.(18)

Условие (18)ограничивает класс функций граничных воздействий . Поэтому будем считать, что функция удовлетворяет условию (18) для любого управления . Доказано [2], что интегральное уравнение (14) в пространстве имеет единственное решение

₍₁₉₎

где определяется единственным образом как предел приближенных решений нелинейного интегрального уравнения

(20)

и удовлетворяет оценке

для любого произвольного элемента .

Оптимальный процесс определяется по формуле

,

где

. (21)

Минимальное значение функционала (1) вычисляется по формуле

(22)

Тройка определяет решения задачи нелинейной оптимизации. Нетрудно заметить, что построить точное решение задачи оптимизации не всегда удается. Поэтому на практике ограничиваются нахождением-го приближенияточного решения и доказывает сходимость приближений точному решению .

II Приближенное решение задачи оптимизации и его сходимость.

1. Приближения оптимального управления и их сходимость.

k-е приближение оптимального управления находим по формуле

₍₂₃₎

Лемма 2.1. Пусть функция удовлетворяет условию Липщица по функциональной переменной , т.е.

(24)

Тогда -е приближение сходится к оптимальному управлению по норме гильбертово пространства .

Доказательство. Утверждение леммы следуетиз неравенства

(25)

2. Приближения оптимального процесса и их сходимость.

При построении приближений оптимального процесса будем различать следующие приближения:

2.1.m-е приближение оптимального процесса по резольвенту находим по формуле

где

m-ое приближение резольвенты ;

2.2. m, k-е приближение оптимального процесса находим по формуле

,

где

.

2.3. m, k, r-ое приближение оптимального процесса находим по формуле

Лемма 2.2. m-е приближение сходится к оптимальному процессу по норме пространства H(Q).

Доказательство следует из соотношения

где - ограниченнаяположительнаяпостоянная. Это соотношение устанавливается непосредственно вычислением и имеет место, т.к.

.

Лемма 2.3. Пусть функция удовлетворяет условию Липщица по функциональной переменной , т.е.

.(26)

Тогда -е приближениепри сходится кпо норме гильбертово пространства для любого

Доказательство. Непосредственными вычислениями имеем соотношение

при любом фиксированном , из которого следует утверждение леммы.

Лемма 2.4. k,m,r-е приближение при сходится к функции по норме пространства для любого k,m = 1,2,3,… .

Доказательство. Непосредственным вычислением имеем соотношение

как остаточный член сходящегося ряда, из которого следует утверждение леммы.

Теорема 2.1. k,m,r-е приближение при сходится к оптимальному процессу по норме пространства _.

Доказательство. Согласно лемм 2.2. – 2.4. утверждение теоремы следует из соотношения

III.Приближения минимального значения функционала и ихсходимость.

В соответствие с приближениями оптимального процесса будем различать следующие виды приближений минимального значения функционала

3.1.m-е приближение по резольвенту минимального значения функционала находим по формуле

3.2. m, k-е приближение минимального значения функционала находим по формуле

3.3. m, k, r-ое приближение минимального значения функционала находим по формуле

Леммы 3.1. Приближение при сходится к значению функционала .

Доказательство.Непосредственным вычислением имеем соотношение

из которого следует утверждение леммы.

Леммы 3.2. Приближение при сходится к значению функционала для любого m =1,2,3,….

Доказательство. Непосредственным вычислением имеем соотношение

из которого следует утверждение леммы.

Леммы 3.3. Приближение при сходится к значению функционала для любых k,m =1,2,3,….

Доказательство. Непосредственным вычислением имеем соотношение

из которого следует утверждение леммы.

Теорема 3.1. Приближение при сходится к значению функционала _.

Доказательство. Согласно лемм 3.1.-3.3 утверждение теоремы следует из соотношения

Литература

1. Керимбеков А., Кадиримбетова А.К. О разрешимости задачи нелинейного граничного управления тепловым процессом, описываемым фредгольмово интегро-дифференциальным уравнением. // Вестник ОшГУ,спец.вып.–Ош: 2013, №1. – С. 167-172.

2. Керимбеков А., Кадиримбетова А.К. Решение одной задачи теории нелинейных интегральных уравнений. // Вестник ОшГУ, спец.вып. –Ош: 2013, №1. – С. 176-173.

3. Краснов М.В. Интегральные уравнения. - М.: Наука, 1975.-303с.