технические
науки/ 2. транспорт.
Анненко Д.М., студент 3-го курса Бабкин М.С.
Белгородский государственный технологический
университет им. В.Г. Шухова, Россия
Расчет
оболочки в форме резной линейной поверхности могжа с учетом геометрической
неленейности
Одним из наиболее и
экономичных видов оболочечных конструкций являются тонкостенные торсовые
конструкции, в частности оболочки в форме линейчатых резных поверхностей Монжа,
у которых параллель представляет собой эвольвенту окружности, а меридиан
является отрезком прямой. Благодаря тому, что торсовые оболочки обладают
способностью разворачиваться на плоскости без складок и разрывов, процесс их
изготовления существенно упрощается.
Используя известные формулы для
определения коэффициентов первой квадратичной формы поверхности А и В и
кривизны 
и 
с помощью уравнения поверхности Монжа,
заданной в векторном виде [1] получим:
A=
+
+
β; B=1; =
(1)
Где
;
;
;
m=
. (2)
В формулах (1) и (2) 
и β
– криволинейные ортогональные координаты; 
-начальное
значение координаты 
с осью вращения.
Для построения решения задачи
используются геометрические соотношения теории оболочек с учетом деформаций
поперечного сдвига, записанные в системе ортогональных криволинейных координат ,
β,z совпадающих с линиями главных кривизн
[2]. С учетом соотношений (1) и (2) геометрические зависимости между
деформациями и перемещениями имеют вид:
=
+
+
+
;
=
+
=+
+
;
=
+
=
=
A
(
;
=
- 
+
=
(3)
Где 
и 
-
функции, характеризующие растяжение (сжатие) оболочки соответственно
направлению осей
–углы
поворота поперечных сечений оболочки соответственно в плоскостях z
и
z; w– нормальное перемещение ( прогиб).
Для расчета оболочки используются
вариационная постановка задачи. Функционал Лагранжа теории упругости оболочек
записывается следующим образом:
(u)=
D
-
, (4)
Где u=(u ,v
w
-
вектор, содержащийкомпоненты тензора деформации; D-матрица упругости; q=(
вектор
внешней нагрузки; S-область
изменения переменных 
.
Для дискретизации задачи используются
вариационно-разностный метод [3], состоящий в том, что на S область изменения независимых переменных
накладывается сетка, искомая функция u,
доставляющая стационарное значение функционалу (4), приближённо задаётся своими
значениями в узлах, а производные функции u заменяются конечными разностями.
Решение нелинейной задачи выполнилось
методом Ньютона-Рафсона при шаговом изменении параметра нагрузки:
(5)
Где W(u)- дискретный аналог потенциальной
энергии деформации; Q-параметр
нагрузки;- нормативный вектор внешних нагрузок;
- матрица Гессе; -
-
градиент дискретного аналога потенциальной энергии деформации;m - номер шага нагрузки; k-номер итерации.
Решена задача по определению не сущей
способности оболочки в форме резной линейчатой поверхности Монжа, жестко
заделанной по контуру (u=v=
=w=0) , при действии вертикальной нагрузки
интенсивностью q.
Составляющие этой нагрузки по направлению перемещений u,v и w определяются соответственно по формулам:
=- 
), 
=-q cos
cos
), 
=q
)
Геометрические и физические
характеристики, оболочки имеют следующие значения 
π/4;
a=1м; 
=2π;
0≤≤2π;
π/2≤≤π/2;h=0,025м; e=2*1
H/
;v=0,16.
Некоторые результаты расчета с
использованием процедуры (5) приведены в таблице 1, где даются значения прогиба
, тангенциальных усилий
и
и изгибающих моментов
и
в центральной точке с координатами=π,
=π.
|
Q*1 |
W*1 |
|
|
|
|
|
8,80 |
1,58 |
4,677 |
7,927 |
2,649 |
5,648 |
|
26,4 |
4,31 |
14,00 |
22,57 |
7,932 |
16,25 |
|
44,0 |
6,29 |
23,26 |
35,40 |
13,19 |
25,84 |
|
61,6 |
7,25 |
32,44 |
46,05 |
18,43 |
34,25 |
|
79,2 |
6,83 |
41,59 |
53,85 |
23,73 |
41,28 |
|
96,8 |
4,65 |
50,94 |
53,53 |
29,37 |
46,66 |
|
114,4 |
0,495 |
61,24 |
53,04 |
36,19 |
49,77 |
|
123,2 |
-1,96 |
66,62 |
46,98 |
39,995 |
49,93 |
Результаты расчетов показывают, что
оболочка данного типа обладает относительно малой декоративностью. Учет геометрической
нелинейности позволяет выявить особенность поведения конструкции такого типа,
заключающейся в перестройке формы равновесия начиная с некоторого уровня награждения
и появлению прогибов, направленных в сторону, противоположную действующей
нагрузке (таблица 1).
Литература
1.Кривошапко С.Н
Торсовые поверхности и оболочки; Справочник-М; Издательство УДН 1991-287с.
2. Трушин С.И. Теории и
расчет нелинейного деформируемых многослойных оболочек вращения// Численные
методы расчёта и оптимизации строительных конструкций. Труды ЦНИИСК им. В.А.
Кучеренко 1989 с.157-164.
3. Милейковский И.Е.
Трушин С.И. Расчет толстостенных конструкций –М: Стройиздат, 1989-200с.
4. Романович А.А. Особенности
процесса постадийного измельчения материалов с использованием пресс-валкового
агрегата// Известия высших учебных заведений.
Строительство. 2007. № 9. С. 88-91.
5. Sharapov R.R.,
Prokopenko V.S. Modeling of the separation process in dynamic separators
// World Applied Sciences Journal. 2013.
Т. 25. № 3. С. 536-542.
6. Романович
А.А., Орехова Т.Н., Мещеряков С.А., Прокопенко В.С. Технология получения
минеральных добавок // Вестник БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. № 5. С. 188-192.
7.
Прокопенко
В.С., Решетов А.В. Совершенствование одноковшового экскаватора//
В сборнике: Международная
научно-техническая конференция молодых ученых БГТУ им. В.Г. Шухова
БГТУ им. В.Г. Шухова. 2015. С. 846-849.