К.ф.-м.н. Габасова О.Р.

Белорусский национальный технический университет

О представлении решения одной линейной гибридной системы управления

1. Пусть рассматривается задача оптимального управления для гибридной [1] системы:

, (1) (2) (3) (4)

. (5)

Здесь , – периоды квантования времени, – заданные натуральные числа; , ;; ; ; ; ; , – кусочно-непрерывные функции;,, , – непрерывные функции; – состояние непрерывной части системы в момент времени , – состояние дискретной части системы, , – значения управляющих воздействий.

Пусть управляющие воздействия , задачи (1) – (5) принадлежат классу дискретных функций . Каждой паре управляющих воздействий ( соответствует единственная траектория ( описываемая непрерывной функцией и кусочно-непрерывной функцией Пару назовем программой, если на ней выполняются (5) и соответствующая ей траектория системы (2), (3) удовлетворяет ограничениям (4). Программа называется оптимальной, если она доставляет критерию качества (1) максимальное значение.

2. Формула Коши. Для исследования поставленной задачи важное значение как и в случае обыкновенной линейной системы имеет формула Коши для решений. Пусть , , – управляющие воздействия, , – соответствующая им траектория системы (2) с начальным условием (3). В силу (2) имеет место тождество

.

Умножим обе части тождества на пока неопределенную матричную функцию

. (6)

и проинтегрируем (6) в пределах от до :

, (7)

. (8)

Пусть функции , дифференцируемыми по . Преобразуем (7), (8):

; (9)

.

Т.к. , , то:

; (10)

=.

Используя (9), (10) для (7), (8) получим:

(11)

;

(12)

.

Пусть функция (5) удовлетворяет соотношениям

( если ).

Тогда соотношения (11), (12) примут вид

, (14)

Формулы (13), (14) определяют решение для уравнений (2) в задаче (1) – (5).

Можно получить другое, эквивалентное представление для решений (2), которое более удобно для вычислений. Сделаем замену независимой переменной и обозначим . Получим Из (16) видно, что значения функции , в точках , , содержит импульсную составляющую . Матричная функция , удовлетворяет уравнению

(17)

Сужение функции на множество обозначим через . Тогда получаем

(18)

при

Функция , на промежутках непрерывности является решением уравнения

(19)

с начальным условием В точках она совершает скачки:

.

Следовательно, формула Коши (14) примет вид

,

Опишем процедуру вычисления функций (15) – (19). Учитывая тождество решаем однородное уравнение , с начальным условием и находим , . Затем, подставив найденную функцию , во второе уравнение (15), вычисляем , . Повторив описанную процедуру на последующих промежутках, вычислим , . Из (17) находим . Поскольку , то уравнение (19) на промежутке становится однородным. Решаем его с начальным условием Из (19), находим , . Из (18), построим функцию, , удовлетворяющую уравнению (19) с начальным условием Продолжая процедуру, построим ,, . На основе полученных формул для решения уравнений (2) исследуется задача оптимального управления (1) – (5), сформулированная в п.1.

Литература

1. Borelli F. Constrained optimal control of linear and hybrid systems // Lecture Notes in Control and Information Sciences. – Springer, 2003. – Vol.290. – 293 p.

2. Габасова О.Р. Оптимизация линейных гибридных систем управления // Вестник БНТУ. –2007. – № 2. – С. 71 – 75.