Абдрахманов Р.

Аликулов

                           C. Абдурахманов

 

Международный казахско-турецкий университет имени Х.А.Ясави, г.Туркестан

Tашкентский государственный технический университет имени А.Р.Беруни, г. Ташкент

 

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ  ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЕ ВЫСОКОГО ПОРЯДКА

 

 

В настоящей статье предлагается численный метод решение  дифференциального уравнений высокого порядка специальгого типа. Правильность предложенного метода доказывается на примере решение которого заранее известно.

Известно, что во многих задачах прикладной математики требуется численное решение дифференциального уравнение следующего вида. [1,2]

                                                   (1)

С начальными условиями:

,  ,         ,                       (2)

где - интегрируемая функция на интервале .         заданные числи. Разобьем отрезок   на n частей точками  и назовём решением уравнение (1) значении неизвестной функции в этих точках т.е .     

Последовательно интегрируя уравнений (1) n раз в интервале от 0 до  где  получим

                                  (3)

Проводя интегрирование по частям n раз в левой части равенство и заменяя в правой части интеграл на интегральную сумму получим систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных  в явном виде.

,                                   (4)

  где - известные коэффициенты, зависящий от порядка дифференциальной уравнение и выбора  метода замены интеграла на интегральную сумму.

Для  решения этой задачи составлена программа на алгоритмическом языке Паскаль. Ниже приводится тестовый пример.

Пример. Очевидно точным решением дифференциалной уравнение

является функция  , с начальными условиями:,  , . Формула (4) представляется в виде:

,                  

В таблице приведена точная и приближенная решения уравнение. Заметим, что предложенный метод решения дает возможность  получить необходимую точность, уменьшая шаг интегрирования решение задачи,  поскольку в настоящее время позволяет современные компьютеры.

 

приближенная решения

 точная решения

0.0

0,9999999

1,00000

0.1

1,1051709

1,1061709

0.2

1,2214027

1,224027

0.3

1,3498588

1,348588

0.4

1,4918246

1,498246

0.5

1,6487212

1,647212

0.6

1,8221188

1,821188

0.7

2,0137527

2,015270

0.8

2,2255409

2,224092

0.9

2,4596031

2,4560311

1.0

2,7182818

2,7128182

 

 

Литература

  1. Бадалов Ф.Б.  Методы решения интегральных и интегро-дифференциальных уравнений наследственной теории вязкоупругости. Ташкент, Мехнат, 1987 г., 269 с.
  2. Курант Р  Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том I, II, Москва, Наука, 1970 г