Строительство и архитектура / 7. Водоснабжение и канализация

К.т.н. Калякин А.М., Чеснокова Е.В., Сауткина Т.Н.

Саратовский государственный технический университет

 имени Гагарина Ю.А., Россия

 

Особенности кинематики потока со сдвигом перед цилиндром на твердом основании

Часть 2*

Определение скорости нисходящих токов

         В каждой точке внутри кольца должно выполняться уравнение неразрывности (система координат цилиндрическая).

                                                                       (1)

         Далее, имеем для составляющей :

                                                                          (2)

         Подставляя в (2) выражения для  и , имеющие вид:

                                      ,                                (3)

                                                               (4)

         Получим:

                                                                (5)

         Для определения , проинтегрируем (5) в пределах от  до , где  и  – некоторые расстояния от дна.

                                                         (6)

         Интегрируя (5) мы определяем , возможно, с точностью до некоторой произвольной функции, не зависящей от , которая обращается в ноль при дифференцировании по .

         Для упрощения не рассматриваются поправки, связанные с этой произвольной функцией, не зависящей от .

         Заметим также, что выбор пределов интегрирования, принятый в (6) не может быть обоснован однозначно.

         Для определения  возможно в (6) подставить любой закон распределения скорости  на бесконечности.

         В формуле (6) при  величина  стремится к бесконечности и, поскольку формула для  приближенная, то можно устранить эту особенность, приняв за  не ту скорость, которая имеет место в данном горизонтальном слое в бесконечности, а скорость  по формуле (3); это тем более оправдано, что  существует только вблизи поверхности обтекаемого тела.

         При получении зависимости (6) необходимо следить за тем, чтобы при дифференцировании  формула (6) переходила в (5); этим условием несколько ограничивается произвол при получении (6).

         Необходимо заметить, что формула (3) действительна не при всех ; очевидно, что

,

тогда, должно быть

,

а следовательно, должно выполняться ограничение для :

 

                                                                                                     (7)

         Для случая ламинарного открытого потока распределение скоростей по глубине имеет вид:

                                                                                   (8)

где  – плотность жидкости;  – ускорение свободного падения;  – геометрический уклон;  – динамический коэффициент вязкости;  – глубина потока;  – расстояние от дна до слоя, скорость которого равна .

         Для турбулентного открытого потока можно принять степенной закон распределения осредненных скоростей по глубине в виде:

                                                        ,                                   (9)

где – расстояние от дна по вертикали до рассматриваемого сечения,  – скорость на поверхности.

         Преобразовав выражение (8) с целью явного выделения скорости жидкости на свободной поверхности:

                                                                                (10)

тогда:

                                                                                              (11)

         С учетом сделанных ранее замечаний, возможно получить несколько различный выражений для  (при ламинарном режиме), выбирая различные пределы интегрирования:

Ι.                                            (12)

или:

                               (13)

         В (13) пределы интегрирования взяты так, чтобы перед оказывался знак «-»; зависимость (12) взяты из уравнения неразрывности без изменений; основной недостаток ее – стремление  к бесконечности

ΙΙ.                    (14)

или:

                       (15)

         В данном случае вместо  взято выражение для  и тем самым стало при , ; кроме того, взяты другие пределы интегрирования.

ΙΙΙ.           (16)

или:

                  (17)

         В данном случае, по сравнению с предыдущими, взяты другие пределы интегрирования.

ΙV.                  (18)

или:

   (19)

         В последнем варианте взяты пределы интегрирования по глубине от  до  и, таким образом, можно рассмотреть полосу в вертикальной плоскости любой протяженности, но величина интеграла (величина ) будет зависеть от ширины этой полосы ().

         Основной недостаток зависимостей для ,  и  состоит в том, что при их выводе было использовано только уравнение неразрывности, но не были использованы уравнения движения.

 

(*) 1-я часть была опубликована в материалах конференции «Образование и наука без границ», Польша, 07-15 декабря 2012.