Ищенко А. А., Ширяев А.В., Ширяев И.А.

КОНТАКТНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ УПРУГИХ ТЕЛ ПРИ ДЕЙСТВИИ СИЛ ТРЕНИЯ НА ПЛОЩАДКЕ КОНТАКТА

Впервые задача о вдавливании в упругое полупространство штампа с плоским основанием произвольной формы в плане рассмотрена Л. А. Галиным [1]. Им получены значения верхней и нижней оценок для величины силы, под действием которой штамп перемещается поступательно на заданную глубину. Задача о давлении на упругое полупространство квадратного в плане штампа исследовалась в работах М. Я. Леонова, С. А. Посацкого, А. Н. Иващенко, В. М. Леоновой [2]. Несмотря на достаточное количество работ, посвященных контакту тел различной формы не существует достаточно простого решения для контакта двух упругих тел.

В данном случае рассмотрены два вида плоской задачи теории упругости. Считаем, что длина тел значительно больше их размеров по оси х, поэтому задача сводится к плоской деформации (перемещение точек тел вдоль площадки контакта отсутствует, но напряжения вдоль площадки не равны нулю). На каждое сечение действует удельная сила Р, равная отношению суммарной нагрузки к длине тел.

Решение этой задачи выполняется по методике [1]. Полагаем, что радиусы кривизны обоих тел велики по сравнению с размерами площадки контакта и поэтому, каждое из этих тел можно заменить полуплоскостью (рис. 1). Начало координат поместим в точке первоначального касания тел. Рассмотрим два варианта данной задачи: контакт в условиях отсутствия сил трения и при наличии сил трения, если одно из тел имеет микро - или макроперемещения (что характерно для контакта деталей металлургических машин).

Тогда граничные условия выглядят следующим образом:

1. Случай, когда на площадке контакта отсутствуют силы трения. Тангенциальные усилия отсутствуют.

2. Случай, когда на площадке контакта имеют место силы трения. Пусть коэффициент трения равен ρ.

Используя алгоритм решения, приведенный в работе [1] и опуская промежуточные выводы, получим следующее решение. Изменение контактных напряжений в интервале, где -a < х < a

где

Е₁ и Е₂ – модули продольной упругости контактирующих тел, а ν₁ и ν₂ – коэффициенты Пуассона.

В отличие от работы [1], показатель θ учитывает упругие свойства обеих контактирующих тел:

Для удобства исследования распределения нормального давления на площадке контакта введем

безразмерную координату ξ=x/a (-1 < ξ < +1), тогда:

Вышеприведенное решение задачи при наличии сил трения является более общим случаем. Его можно легко применить и для случая отсутствия сил трения, т.е. в этом случае ρ=0. Тогда показатель θ=½ и, подставляя его значение в (2) получим формулу давления на поверхности упругого тела без трения в контакте. Это выражение идентично зависимости, полученной для контакта абсолютно жесткого штампа с упругой полуплоскостью.

Особенностями зависимостей (1) и (3) является то, что показатель степени (1/2 – θ) должен быть положительным. То есть, в формулах коэффициентов k и m первое тело – всегда обладает более упругими свойствами, в противном случае сила трения меняет направление и знак степени в этих формулах следует изменить на обратный. Кроме того, вышеприведенные зависимости неприменимы для случая контакта двух тел, с равными упругими характеристиками. Тогда показатель θ обращается в ноль и давления в выражениях (1), (3) тоже равны нулю, чего не может быть.

В качестве примера рассчитаны контактные напряжения для тел из эпоксидной смолы (Е₁=3·10⁴ кг/см², ν₁=0,35) и стали (Е₂=2,1·10⁶ кг/см², ν₂=0,3). Графики изменения относительных давлений вдоль площадки контакта в относительных координатах для двух рассмотренных случаев, представлены на рис. 2. Очевидно, что при таком соотношении упругих характеристик распределение давления в контакте сталь-материал на основе эпоксидной смолы весьма близки к давлению штампа с упругой полуплоскостью.

Выводы

1. Выведены теоретические зависимости контактных напряжений двух упругих тел, одно из которых имеет конечные размеры как для случая наличия сил трения в контакте, так и в случае их отсутствия.

2. Выявлено ограничение в применении полученных зависимостей для тел с близкими упругими свойствами.

Список использованных источников:

1. Галин Л. А. Контактные задачи теории упругости.—М. : Гостехиздат, 1953.— 264 с.

2. Развитие теории контактных задач в СССР / Под общ. ред. Л. А. Галина и др.— М. : Наука, 1976.— 492 с.