Математика / 4. Прикладна математика

А.М. Лукашова

Херсонський національний технічний університет, Україна

Практична апробація одного методу поліфокусної апроксимації

Постановка проблеми. Апроксимаційні можливості багатофокусних лемніскат вперше досліджувалися німецьким математиком Д.Гільбертом [1]. Ним доведено, що для кусочно-гладкої замкненої без самоперетинів кривої С на площині завжди знайдеться така система фокусів і такий радіус, що для будь-якого відповідна лемніската пройде у -околі довільної точки кривої С.

Ця теорема існування дає підстави для дослідження методу багатофокусної апроксимації. Питання ж практичного знаходження значень параметрів фокусного подання апроксимуючої лемніскати до останнього часу залишалося відкритим. Аналітичне розв’язання цього питання натикається на непереборні об’єктивні труднощі. Але з початку 1990-х років професором Ракчеєвою Т.А. (Інститут машинознавства РАН) запропоновано кілька варіантів алгоритмів визначення параметрів апроксимуючої лемніскати, які спираються на обчислювальні методи [2-4].

Різні виконання окремих кроків цих алгоритмів породжують велике різноманіття варіантів їх реалізації і відкривають широке поле діяльності для подальших досліджень.

Аналіз попередніх публікацій. Теоретичне обґрунтування та ітераційна процедура реалізації методу фазового кола наводяться у роботі [4].

Ціллю публікації є дослідження ефективності використання критеріїв збіжності методу фазового кола при апроксимації емпіричних кривих різного походження.

Основна частина. Для оцінки точності апроксимації емпіричної кривої багатофокусною лемніскатою у роботі [4] пропонується використовувати
W-критерій:

(1)

де – поліном, який має коренями m фокусів лемніскати; – радіус апроксимуючої лемніскати із її рівняння – образи точок емпіричної кривої на одиничному колі.

Його застосування передбачає локалізацію усіх фокусів апроксимуючої лемніскати всередині однозв’язного контуру. Але практична апробація методу фазового кола показала, що при апроксимації кривих довільного походження з’являються фокуси, які локалізуються зовні контуру, що визначається емпіричною кривою. Апроксимуюча лемніската втрачає однозв’язність, навколо зовнішніх фокусів утворюються самостійні контури. Назвемо їх паразитарними за аналогією із осциляціями, що виникають при апроксимації степеневими поліномами тощо. Але при цьому існує однозв’язний контур (назвемо його цільовим), точність апроксимації яким емпіричної кривої зростає з ростом кількості фокусів.

В цілому можна виділити стадії впливу зростання кількості фокусів на якість апроксимації:

1) фокуси локалізуються всередині емпіричного контуру, точність апроксимації зростає;

2) з’являються зовнішні фокуси, апроксимуюча лемніската втрачає властивість однозв’язності, точність апроксимації цільовим контуром продовжує зростати;

3) цільовий контур розпадається на окремі контури, що обмежують фокуси апроксимуючої лемніскати.

Криві, які використовуються у даній статті для тестування методу фазового кола, обираються із таких міркувань. За походженням тестові криві поділяються на 1) фокусні криві з мутиплікативним інваріантом; 2) фокусні криві з адитивним інваріантом; 3) нефокусні.

Фокусні криві з мутиплікативним інваріантом можуть бути наближені з довільною точністю. Якість їх наближення слугує оцінкою якості роботи методу. Відповідні дослідження наводяться у роботах [2-5].

Модельні фокусні криві з адитивним інваріантом розглядаються, з одного боку, як проміжний варіант між кривими, що за структурою співпадають із апроксимуючою кривою, і довільними кривими. З іншого боку, ці криві пов’язані із перспективами подальших досліджень, а саме із розробкою методів апроксимації кривими, що визначаються функціоналом
[5].

Тест 1. Дослідження точності апроксимації емпіричної кривої у формі еліпсу.

а)	б)
в)	г)

Рис. 1. Апроксимація емпіричної кривої у формі еліпсу: а) графік залежності значень W-критерію від кількості фокусів m; б) 1-фокусною лемніскатою;
в) 2-фокусною лемніскатою; г) 3-фокусною лемніскатою

Як відомо, еліпс належить до фокусних кривих із адитивним інваріантом. Додатково відзначимо, що є відомим точний вираз конформного відображення одиничного кола на еліпс. Для виконання комп’ютерного експерименту згенеруємо емпіричну криву, яка складається із 36 точок, за рівнянням еліпсу:

Динаміка зміни значень W-критерію показані на рис. 1 а. Очевидно, що зростання кількості фокусів більше за 3 не приводить до суттєвого покращення якості апроксимації.

Тест 2. Дослідження точності апроксимації емпіричних кривих, які згенеровані за рівняннями кривих із порушеннями гладкості:

1) кардіоїди; 2) епіциклоїди; 3) однієї петлі лемніскати Бернуллі.

Для виконання комп’ютерного експерименту згенеруємо такі емпіричні криві:

1) за рівнянням кардіоїди із 36 точок;

2) за рівнянням епіциклоїди з параметрами
із 45 точок;

3) за рівнянням однієї петлі лемніскати Бернуллі з параметром із 90 точок.

Зауважимо, що у точках, в яких відповідна крива втрачає гладкість, також порушується умова конформного відображення на неї одиничного кола.

При проведенні експерименту має місце наступна динаміка якості апроксимації кардіоїди багатофокусною лемніскатою:

1) починаючи з 3 фокусів, з’являються зовнішні фокуси (рис. 2 б);

2) спадання значень W-критерію відбувається з порушеннями монотонності (рис. 2 а);

3) починаючи із 24 фокусів, цільовий контур втрачає однозв’язність
(рис. 2 в);

4) із зростанням кількості фокусів апроксимуюча крива перестає зберігати характер зміни кривини експериментальної кривої.

а)^*

б)

в)

Рис. 2. Апроксимація емпіричної кривої у формі кардіоїди: а) графік залежності значень W-критерію від кількості фокусів m; б) 9-фокусною лемніскатою;
в) 25-фокусною лемніскатою

^*На графіку залежності значень W-критерію від кількості фокусів m
(рис. 2а) відсутні точки для m=3 і m=4, оскільки вони значно виходять за інтервал зміни основної частини ординат досліджених точок.

Рис. 3. Апроксимація емпіричної кривої у формі епіциклоїди 9-фокусною лемніскатою

При апроксимації епіциклоїди мають місце особливості динаміки характеристик якості апроксимації: 1) починаючи з 5 фокусів, з’являються зовнішні фокуси (рис. 3); 2) значення W-критерію монотонно зростають; 3) починаючи із 28 фокусів, цільовий контур втрачає однозв’язність;

4) апроксимуюча крива не зберігає характер зміни кривини експериментальної кривої при всій дослідженій кількості фокусів.

При апроксимації однієї петлі лемніскати Бернуллі мають місце особливості динаміки характеристик якості апроксимації:

1) починаючи з 4 фокусів, поява зовнішніх фокусів чергується у довільному порядку із їх зникненням (рис. 4 а);

2) після першої появи зовнішніх фокусів значення W-критерію монотонно спадають (рис. 4 б);

а)

б)

Рис. 4. Апроксимація емпіричної кривої у формі однієї петлі лемніскати Бернуллі: а) графік залежності значень W-критерію від кількості фокусів m;
б) 10-фокусною лемніскатою

Висновки та перспективи подальших досліджень. Виконані дослідження показали, що існування у емпіричних кривих точок, в яких порушується їх гладкість і відповідно конформність відображення, яке лежить в основі методу фазового кола, накладають обмеження на спроможність названого методу забезпечувати якісну апроксимацію.

Вперше показано можливість застосування методу фазового кола при наявності зовнішніх по відношенню до емпіричного контуру фокусів.

Показана притаманність багатофокусній апроксимації недоліків, які аналогічні недолікам апроксимації степеневими поліномами: відсутність збереження проміжків монотонності кривини емпіричної кривої, розпадання однозв’язного контуру апроксимуючої кривої або її цільового контуру на багатозв’язний контур.

Подальші дослідження доцільно пов’язувати із розробкою критерію збіжності методу фазового кола на основі умовної оптимізації. Введені умови мають запобігати виникненню перелічених вище недоліків.

Література

1. Hilbert D. Gesammelte Abhandlungen / D. Hilbert. — Berlin: Verlag von Julius Springer, 1935. — 436 p.

2. Ракчеева Т.А. Алгоритм фокусного приближения кривых / Т.А. Ракчеева // Человеко-машинные системы и анализ данных: Сб. науч. тр. — М.: Наука, 1992. — С. 111—129.

3. Ракчеева Т.А. Алгоритмическое решение задачи фокусной аппроксимации замкнутых кривых на вещественной плоскости /
Т.А. Ракчеева // Программные продукты и системы. — 2010. — № 3(91). — С. 59—65.

4. Ракчеева Т.А. Критерии и сходимость многофокусной аппроксимации / Т.А. Ракчеева // Компьютерные исследования и моделирование. — 2013. — Т. 5. — № 3. — С. 379—394.

5. Ракчеева Т.А. Квазилемнискаты в задаче приближения формы кривых / Т.А. Ракчеева // Интеллектуальные системы. — 2009. — Т. 13. — Вып.1-4. — С. 79—96.