Габасова О.Р.

Белорусский национальный технический университет (Минск, Беларусь)

Терминальная задача оптимального управления для одного класса линейных гибридных систем

 

В классе дискретных управляющих воздействий рассматривается задача оптимального управления для дискретно-непрерывной системы. Гибридные системы в последнее время вызывают интерес специалистов в связи с широким их использованием в приложениях [1–6]. В статье выводится формула Коши, с помощью которой исходная задача сводится к специальной задаче линейного программирования. Обосновывается способ вычисления экстремального решения, основанный на замене производной разностным отношением с последующим применением метода математического программирования.

1. Постановка задачи. Пусть  – промежуток управления, ,  – периоды квантования времени, – натуральные числа , ;  ; , ; ;  ; ,   – кусочно-непрерывные функции; , , – дискретные функции в прямом времени с периодом квантования ; – дискретная функция в прямом времени с периодом квантования . Функцию  будем называть дискретной в прямом (обратном) времени с периодом квантования –натуральное число), если ,.

Рассмотрим задачу оптимального управления:

,                                                                           (1)

                                                             (2)

                                                                                                  (3)

     ,                                                                                         (4)

                (5)

Здесь – состояние непрерывной части системы в момент времени , – состояние дискретной части системы, – состояние гибридной системы,  – значения управляющих воздействий.

Под траекторией системы (2), соответствующей управляющим воздействиям , будем понимать единственную пару из непрерывной функции , и дискретной функции , которая удовлетворяет уравнениям (2) с начальными условиями (3).

Пару управляющих воздействий назовем программой, если на ней выполняются условия (5) и соответствующая ей траектория системы (2) удовлетворяет ограничению (4). Программа называется оптимальной, если на ней критерий качества (1) достигает максимального значения:

,

где максимум вычисляется по всем программам.

Суботпимальную (-оптимальную) программу определим неравенством .

Задача состоит в построении -оптимальной программы для заданного .

2. Формула Коши. Пусть – произвольный момент времени, , – произвольные управляющие воздействия, , –соответствующая траектория системы (2) с начальным условием (3).

Ясно, что имеет место тождество:

.

Введем пока неопределенную матричную функцию

                                                 (6)

Формула Коши имеет вид

                                                       (7)

                    .

где введенные выше матричные функции, удовлетворяют соотношениям

     (8)

                                      .                                        

Можно показать, что существует единственная функция (6), которая удовлетворяет соотношениям (7), (8).

Заменим производную в (1) разностным отношением

Тогда задача (1) – (5) принимает вид

,

                                                                                                (9)

                                          ,                                                       

                              .                                      

Переменными задачи (9) являются . Их общее количество равно . Количество основных ограничений задачи равно . При малых задача (9) представляет большую задачу линейного программирования [7] с матрицей условий специальной структуры, содержащей большой процент нулевых элементов. Методов линейного программирования, учитывающих указанную специфику задачи (9), пока не создано.

В статье описывается модифицированный метод математического программирования [8] решения задачи (1) – (5), который позволяет существенно сократить размеры эквивалентной задачи линейного программирования. С помощью  элементарных преобразований задачу (1) – (5) сведем к виду

                                         ,

                                             ,                                       (10)

.

 

Полученная задача имеет  основных ограничений и переменных  , т.е. при малых  она является «полубольшой». Матрица условий этой задачи плотно заполнена, но имеет особенность, состоящую в том, что элементы  связаны специальным образом из элементов исходной задачи оптимального управления (1) – (5), т.е. задача (10) относится к специальным задачам линейного программирования второго типа.

Для полученной задачи (10) разработан быстрый алгоритм решения и приводится пример решения задачи минимизации полного импульса управляющего воздействия для успокоения на конечном промежутке непрерывной системы второго порядка с помощью дискретного актуатора первого порядка, на вход которого подаются дискретные управляющие воздействия.

Литература

1.       Borelli F. Constrained Optimal Control of Linear and Hybrid Systems. In Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 290. – Springer, 2003, 293 p.

2.       A. Nerode, W. Kohn. Models for hybrid systems: Automata, topologies, controllability, observability. In Lecture Notes in Computer Science: Hybrid Systems (R. Grossmann, A. Nerode, A. Ravn, and H. Rischel, eds), Springer Verlag, 1993, vol. 736, pp. 317 – 356.

3.       T. Schlegl, M.Buss, G. Schmidt. Development of numerical integration methods for hybrid (discrete-continuous) dynamical systems. In Proc. of the IEEE/ASME Intern. Conf. on Advanced Intelligent Mechatronics AIM’97 (Tokyo, Japan, Paper No. 154) , 1997.

4.       T. Schlegl,  M. Schnabel, M. Buss, and V. Krebs. State reconstruction and error compensation in discrete-continuous control systems. at-Automatisierungstechnik, 48: 438 – 447, 2000.

5.       C. Tomlin. Towards efficient computation of solutions to hybrid systems. In Proc. of the 38th IEEE Conference on Decision and Control (Phoenix, AZ), 1999, pp. 3532 – 3537.

6.        A. van der Schaft, H. Schumacher. An introduction to hybrid dynamical systems. In Lecture Notes in Control and Information Sciences, vol. 251, Springer Verlag, 2000.

7.       Лэсдон Л.С. Оптимизация больших систем. М.: Наука,1975, 431 с.

8.       Табак Д., Куо Б. Оптимальное управление и математическое программирование. М.: Наука, 1975, 279 с.