Математика. Математическое програмирование.

Дудник А.И.

Науковий керівник Шепеленко О.В., д.е.н., профессор

Донецкий национальный университет экономики и торговли

имени Михаила Туган-Барановского

АНАЛІЗ МАТЕМАТИЧНИХ МОДЕЛЕЙ ПРОГНОЗУВАННЯ

ЧИСЕЛЬНОСТІ НАСЕЛЕННЯ

Розвиток цивілізованої держави неможливий без достатньої кількості населення, яке є об’єктивною основою її існування та діяльності, є найвагомішим чинником суспільного розвитку, головним її надбанням. Враховуючи сьогоднішню складну демографічну ситуацію (зниження народжуваності, зростання смертності та захворюваності, зниження тривалості та якості життя, відчутна зміна вікової структури населення), спричинену поєднаною дією фінансово-економічної, екологічної та демографічної криз, які підсилюють одна одну і не сприяють підвищенню якість життя та сталого соціально-економічному розвитку. Функціонування ринкової економіки вимагає наявність статистичної інформації про чисельність економічно активного населення, і це є важливою проблемою, яка стосується інтересів держави. Це обумовлює необхідність вдосконалення методів аналізу та прогнозування чисельності населення та динаміки його зайнятості та безробіття, які можна використовувати для підвищення якості управління.

Створенням та аналізом демографічних моделей займалося багато вчених та дослідників, серед яких: Кринська Л., Зайцева  З., Шевчук П., Овчиннікова О., Слівінська Н. Але побудова демографічних моделей, з урахуванням багатьох чинників, які впливають на чисельність населення, були розглянуті не до кінця.

При сучасному моделюванні характерним є каузальний підхід до моделювання, тобто підхід, при якому на перший план виходить не зовнішня схожість, а вивчення внутрішньої сутності об'єкту моделювання. У той же час широко розповсюджені спроби розкрити закономірності демографічних процесів тільки кількісно у тих випадках, коли аналіз їх змісту проводити не можливо при сучасному рівні демографічної науки.

Демографічна модель виникає як абстрактна математична модель, що може бути віднесена до кожного з населення, відповідно до визначених обмежень. Методи,що використовуються дозволяють відрізняти прогнозування населення:

за типом математичних функцій, що використовуються;

за демографічними моделями відтворення населення;

за статистичними характеристиками динаміки;

за переходом віку.

Можливо сумісне використання різних методів та прийомів прогнозування з метою перевірки правильності їх вибору та проведення нових прогнозних зіставлень, що базуються на різних моделях.

Американський астроном Г. Притчетті в 1892 р. з метою прогнозу чисельності населення США використав параболу третього порядку. Дані, які були вирівняні за цією кривою за 1790-1880 рр., майже за кожний рік співпадали з фактичними. Показники прогнозу за параболою третього порядку на 1880 р. мали невелике (55 тис.) неспівпадіння з фактичними. Вважаючи, що зростання населення США буде йти тим же чином, вчений розрахував чисельність на 1000 років вперед. Однак, в подальшому різниця між розрахунковою та фактичною численністю збільшувалася. З'ясувалось, що параболу, за якою можливо описати зростання населення в минулому, не можливо використати для прогнозу. В основу математичної моделі вікового складу населення може бути покладено марківський процес із дискретним або неперервним часом і кінцевою кількістю станів процесу.

Розповсюдження для характеристики минулого та майбутнього розвитку населення має показова або експотенційна крива, яка бере до уваги не тільки час прогнозного періоду, але й основний показник розвитку населення - коефіцієнт його природного приросту.

Якщо коефіцієнт природного приросту прийняти, як незмінний за деякий період часу, то виходячи з експонтенційного закону росту населення, є можливість визначити його зміну.

Початківцем прогнозування чисельності населення за логістичною кривою став бельгійський вчений ХІХ ст. Р.Ф. Ферхюст. Подальший розвиток цей метод получив в працях американських вчених початку ХХ ст. Р. Пірля та Л. Ріда. У відповідності до теорії Пірля-Ріда в логістичній кривій є взаємозв’язок між темпами росту населення та його абсолютною чисельністю. Оскільки територія держави постійна, ця залежність переходить в залежність між темпами росту населення та його щільністю. Спочатку вона швидко зростає, потім, зустрівши подальший опір середи, зменшується, доходячи до нуля. Коли біолог Р. Пірль та математик Л. Рід придали логістичній кривій біологічне обґрунтування, вони використовували її за для вирівнювання емпірічних даних про чисельність населення. Для населення США та Швеції вирівнювання показало порівняно невеликі розходження між емпірічними та вирівняними даними, що дозволило проводити прогнозування за логістичною кривою.

Поєднання таблиць смертності та таблиць народжуваності дозволяє створити дискретну модель відтворення населення. Його система співвідношень між змінними показниками співпадає з розрахунками, які використовуються при розрахунках майбутньої чисельності населення за методом пересування за віком. З метою проведення аналізу більш частіше користуються математичною моделлю, що є аналогом цієї моделі, під назвою «інтегральне рівняння відтворення населення». Ці моделі застосовуються при дослідженні впливу народжуваності та смертності на структуру населення та їх умисного впливу на темпи росту населення. Важливим елементом цього аналізу є модель сталого населення.

В останні роки зростає увага до використання методів і практичного використання ймовірнісного прогнозування. Ймовірнісний підхід при обчисленні перспективної чисельності населення за статево-віковими групами, як і більшість детерміністичних методів демографічного прогнозування, використовує когорто-компонентний метод та пересування вікових груп. Показники по окремих компонентах природного та механічного руху на перспективу отримуються за допомогою залучення різних методів: експертної думки, аргументованого підходу, методу динамічних рядів, аналізу похибок історичних прогнозів, умовного ймовірнісного прогнозування.

Одним із основних показників, які характеризують демографічну ситуацію, є показник народжуваності, що характеризує інтенсивність відтворення населення. Для його прогнозування можна використати модифіковану динамічну модель В.М. Карпова:

,

де – кількість народжених;

– матеріальне положення сім’ї;

– кількість зареєстрованих шлюбів;

– якість охорони здоров’я;

– рівень забезпеченості дитячими дошкільними установами;

– якість житлових умов;

– вагові коефіцієнти, які відображують вплив кожної зі складових моделі на результуючий показник;

– моменти часу, що задають інтервал моделювання.

Вибір чинників обумовлений тим, що вони є одними з найбільш впливових в даному випадку, мають кількісний вимір.

Наведена модель може бути використана як для відображення динаміки змін показника кількості народжених, так і для розрахунку ретроспективного та перспективного прогнозів.

Таким чином, нами розглянуті певні моделі, які можна використовувати у демографічному прогнозуванні. Вибір конкретної моделі залежить від мети дослідження та показників, для яких розраховується прогноз.