Математика/5. Математическое моделирование

Махамбетова Г.И.

Костанайский государственный университет им.А.Байтурсынов, Казахстан

ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА КОНДУКТИВНОГО РАСПРОСТРАНЕНИЯ ТЕПЛА В ОДНОРОДНОЙ СРЕДЕ

Недостаток сведений о физических и физико-химических причинах, вызывающих миграцию влаги при промерзании, а также процессах, которые ее сопровождают, не позволяет пока получить надежные методы определения коэффициента теплопроводности, влагопроводности и т.д. в промерзающих почвах и тонкодисперсных горных породах. В серии работ /1-5/ были разработаны методика решения распространения тепла и влаги в многослойной области. Известно что, не зная решения прямой задачи, нельзя взяться за решение обратной задачи. Следует отметить, что самым сложным вопросом является определение коэффициента теплопроводности, в фазовой зоне. В этой работе приводится приближенный метод, с помощью которой определяется коэффициента теплопроводности грунта. 

1. Постановка задачи           ,                                                       (1)

,              ,                         (2)     ,   ,                                 (3)

Требуется определить коэффициент теплопроводности .

         Численное решение задачи (1)-(3) будем искать из минимума функционала:                          .

         Зададим начальное приближение . Следующие приближенное решение  будем вычислять методом простых итераций:

,                                             

здесь - достаточно малое число,          - градиент функционала . Коэффициенты  и  удовлетворяют системе (1) – (3). Обозначим

, .

Тогда для перемещения получаем задачу:

                                    

                          ,               ,                                              ,                        ,                               

2. Градиент функционала

         Умножим (1) на  и проинтегрируем по z и t в области . После несложных преобразований получим сопряженную задачу:                                                                       

,                                                                                              

Вычислим приращение функционала

.

Используя уравнение, начально-краевые условия сопряженной задачи выводим,  что

.

Две последние слагаемые в правой части последнего равенства имеют второй порядок малости. Тогда получаем следующий градиент функционала:

.                                           

3. Алгоритм решения задачи

1) Пусть приближение  известно

2) Решается прямая задача

,                                                     (4)

,                                       (5)

,                                               (6)

и определяется  и .

3) Решается сопряженная задача

                                                  (7)

,                                                   (8)

                                     (9)

4) Вычисляется градиент функционала

.

5) Следующее приближение коэффициента теплопроводности определяется по формуле:        ,

4. Априорные оценки прямой задачи

Теорема 1. Для решение задачи (4)-(6) справедливо оценка

.                   (10)                                                           

Теорема 2. Для решение задачи (7)-(9) справедливо оценка

,                                            (11)

На основе (10) и (11) получаем, что

.

Теорема 3. Последовательность сходится к одному пределу и ограничено сверху и снизу положительной константой.

Теорема 4. Последовательность  является монотонно убывающей и ограничено сверху положительной константой.

Литература:

1        Адамов А.А. Процессы протаивания грунта  // Доклады  НАН РК. -2007. -№1. - С. 16-19.

2        Рысбайұлы Б., Адамов А.А. Исследование теплопроводности фазовой зоны в многослойном грунте  // Вестник НАН РК. 2007. -№4. - С. 30-33.

3        Мартынов Г.А. Тепло - и влагоперенос в промерзающих и оттаивающих грунтах. Основы геокрилогии (мерзлотоведения). – М.: 1959, под. ред. Н.А. Цытович. гл. VI стр. 153-192.

4          Чудновский А.Ф. Теплобмен в дисперсных средах. – М. Гостехиздат, 1954, 444 с