Д.т.н. А.В. Степанов

Южный филиал Национального университета биоресурсов и природопользования Украины «Крымский агротехнологический университет», Украина

К ЗАДАЧЕ ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫМИ ОБЪЕКТАМИ В РЕАЛЬНОМ ВРЕМЕНИ

В настоящее время имеется большое количество постановок задач энергосберегающего управления динамическими объектами, которые имеют место в различных отраслях деятельности человека. Традиционно снижение энергетических затрат на производстве достигается за счет повышения производительности оборудования, уменьшения его простоев в рабочем состоянии, а также повышения надежности [1]. Очевидно, что важным резервом снижения энергопотребления является оптимальное управление динамическими режимами с учетом меняющихся состояний функционирования. В этом плане наиболее перспективно использование алгоритмов синтеза оптимального управления в реальном времени.

Простейшие системы оптимального управления состоят из управляющего устройства и собственно динамического объекта – объекта управления [2, 3]. Простейшие схемы систем оптимального управления представлены на рис. 1.

а)

б)

в)

Рис. 1 – схемы простейших систем оптимального управления:

а). U – рассчитывает оптимальную программу ;

б). U – рассчитывает оптимальную траекторию ;

в). U – использует позиционную стратегию.

На вход управляющего устройства подается массив исходных данных R, на основе которого U рассчитывает оптимальную программу . Модификация такой системы предполагает включение в систему автоматического управляющего устройства AR (стабилизатора). В этом случае U рассчитывает оптимальную программу, где отклонения от заданного режима (траектории процесса) устраняются AR. Здесь предполагается, что динамический объект может подвергаться действию возмущений . В в) показана система с обратной связью. Алгоритм управления реализуется в виде так называемой синтезирующей функции. U рассчитывает О в моменты времени в зависимости от текущего значения фазовых переменных и оставшегося времени. Вид и параметры самой функции определяются массивом исходных данных.

Наиболее распространенный класс динамических объектов – транспортные средства, с наличием жестких ограничений на скорость, ускорения и т.п., фазовые переменные которых зависят от параметров динамической модели [4, 5]. Для таких объектов управления, управляющее устройство должно осуществлять: совмещенный синтез оптимального ресурсосберегающего управления; слежение и прогнозирование значений фазовых переменных, управляющих воздействий и расхода ресурсов; определение вида и параметров модели динамики [6].

Имеет место значительное количество задач оптимального управления в самых разнообразных постановках, где оптимизируется целевой функционал, учитывающий затраты энергии (расход ресурсов, топлива и т.п.), часто в комбинации с другими составляющими [7]. В общей постановке задача оптимального энергосберегающего управления имеет следующий вид.

1). Модель динамики объекта:

. (1)

2). Ограничения на фазовые переменные и управление:

; (2)

. (3)

3). Целевой функционал:

, (4)

исследуется на минимум.

Здесь и матрицы параметров процесса; и границы временного интервала управления. Таким образом, основной вопрос прямой задачи заключается в том, чтобы найти для заданного массива исходных данных такое управление , которое при выполнении условий и ограничений (1)-(3) доставляло бы минимум функционалу (4). При минимизации затрат энергии функция такова [8], что функционал имеет вид:

, (5)

В случае расхода ресурса, целевой функционал имеет вид: .

Задача (1)-(4) представляет собой задачу оптимального управления с ограничением на управление, фиксированным временным интервалом и закрепленными концами траектории изменения вектора фазовых координат.

Для объектов управления с электроприводом, управление обычно представляет собой напряжение или силу тока, для других объектов это может быть расход ресурсов. Краткое описание математической постановки конкретной задачи оптимального управления осуществляется с помощью модели [6], под которой понимается кортеж, содержащий условные обозначения ключевых компонентов, входящих в математическую постановку задачи оптимального управления и позволяющий однозначно идентифицировать: задачу проектирования системы управления и программные средства автоматизированного проектирования. К ключевым компонентам относят модель динамики объекта , минимизируемый функционал , стратегия реализации оптимального управления , а также условия и ограничения . Таким образом, кортеж имеет вид: , где , , и . Здесь множества, соответственно, моделей объекта управления, видов функционалов, стратегий реализации управления и особенностей задачи.

В качестве примера, можно рассмотреть модель системы подачи рабочей жидкости и откачки избыточных ее объемов в камерных опрыскивателях для виноградников при реализации технологического процесса: система «форсунка-эжектор». Очевидно, что в такой системе, где связь прямая, увеличение объема подачи жидкости на форсунки с целью откачки излишних объемов жидкости эжекторами не ограничено по значениям сверху. Таким образом, задача заключается в определении такого управления, при котором имеет место стационарный установившийся режим. Здесь, математическая постановка задачи может быть представлена в следующем виде.

1. Модель объекта :

(6)

Здесь: объем откачки; объем подачи; массив параметров системы подачи жидкости, параметр при функции управления; запаздывание. Вид функции может быть определен экспериментально, а в простейшем случае имеет вид: .

2. Функционал :

, (7)

где множество допустимых управлений.

3. Стратегия :

. (8)

4. Ограничения :

(9)

(10)

Состояния (9) и (10) – особенности (ограничения) в задаче: ограничение на управление в каждый момент времени и интервальные (на предел расхода ресурса – объемов подачи рабочей жидкости), а также закрепление концов фазовой траектории и фиксированное время управления.

Массив исходных данных модели:

.

Заметим, что для различных задач оптимального управления массивы как правило задаются интервальными значениями компонентов. Полный анализ задачи означает определение условий существования решения задачи, возможных видов функций управления, получение соотношений для функций управления, а также значений функционала и фазовых траекторий для возможных значений массива исходных данных . Результаты такого анализа приводят к модели расчетного пространства , а именно к некоторому его фрагменту вычислительному пространству, которое дает возможность решать прямые и обратные задачи оптимального управления на некотором множестве т.н. расширенном множестве состояний функционирования системы [9].

Таким образом, задачи, в которых по массиву исходных данных и информации о множестве состояний функционирования с использованием моделей рассматриваются и прямые. Обозначая результаты решения прямых задач, а множество алгоритмов их решения, решения прямых задач можно представить отображением: . Естественно при этом рассматривать обратные задачи: на основе решения и информации о множестве определить изменения в модели и в данных . И тогда обратное отображение: .

Применение численных алгоритмов решения задачи предполагает, что начальное управление уже известно. Как правило, в качестве начального управления выбирается некоторая допустимая «пробная» функция, например, константа. Однако, во многих практических задачах изначально трудно найти начальное управление, в качестве начала итерационной процедуры.

Среди возможных способов поиска начального приближения в условиях, когда его не удается задать тривиальным образом, одним из подходов может быть основан на идеи, что в процессе такого поиска применяются алгоритмы, препятствующие опасному росту значений одной или нескольких фазовых переменных в пределах заданного отрезка времени.

Предлагается технология преобразования исходной задачи оптимального управления к последовательности вспомогательных задач, в которых оптимальное решение предыдущей задачи принимается за начальное приближение в последующей. Для построения редуцированной последовательности задач применяется параметризация системы дифференциальных уравнений, как векторная, так и скалярная, и регуляризация задачи, предполагающая замену исходного целевого функционала одним из специальных функционалов, направленных на удержание фазовых траекторий вблизи их начальных значений [10].

Таким образом, система вида (6) на м шаге итерационной процедуры, в общем виде может быть записана так:

, (11)

где вектор состояний; вектор управлений; . Считается, что обладает следующими свойствами:

- удовлетворяет условиям существования и единственности решения задачи Коши для системы (11);

- система (11) имеет положение равновесия (как и общая система типа (6)) – не нарушая общности рассуждений – оно нулевое.

Цель управления объектом (11): и , где векторные функции и – желаемое движение.

Функция задаются таким образом, что для произвольного допустимого управления векторные функции и близки по норме при любом . В этом случае система (11) является прогнозирующей моделью по отношению к модели управления объектом.

Для примера с моделью системы подачи рабочей жидкости и откачки избыточных ее объемов в камерных опрыскивателях для виноградников реализовано управление, показанное на рис. 2.

Рис. 2. Вид функции управления системой подачи рабочей

жидкости в туннельном опрыскивателе

Выводы: выше изложенные принципы построения оптимального управления движением нелинейного объекта дают возможность построения следящих систем.

Литература:

1. Ядыкин И.Б. Принципы построения и архитектура интеллектуальных автоматизированных систем учета энергоресурсов / И.Б. Ядыкин // Труды Института проблем управления. – М.: Изд-во ИПУ. – 2000. – Т. 8. – С. 60-71.

2. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров. – М.: Высш. шк., 1989. – 263 с.

3. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

4. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Линейные системы / Н.Н. Красовский. – М.: Наука, – № 8. – 476 с.

5. Методы классической и современной теории автоматического управления: учебник. В 5 т. Т. 1: Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004, – 656 с.

6. Матвейкин В.Г., Муромцев Д.Ю. Теоретические основы энергосберегающего управления динамическими режимами установок производственно-технического назначения. – М.: Машиностроение, 2007. – 128 с.

7. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы / А.Г. Александров. – М.: Высш. шк., 1989. – 263 с.

8. Справочник по теории автоматического управления / под ред. А.А. Красовского. – М.: Наука, 1987. – 712 с.

9. Муромцев Д.Ю., Погонин В.А. Системы энергосберегающего управления: Учебн. Пособие. Тамбов: Изд-во Тамб гос. техн. ун-та, 2006. – 92 с.

10. Веремей Е.И. Введение в задачиуправления на основе предсказаний: учеб. пособие / Е.И. Веремей, В.В. Еремеев. http://matlab.exponenta.ru.