Нурахметов Б.К., д.т.н Алматинский технологический университет

Сартаев К.З. д.т.н Алматинский технологический университет  

Бижанова А.С. Казахская академия транспорта и коммуникации

 

КИНЕТОСТАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПАРАЛЛЕЛЬНОГО МАНИПУЛЯТОРА СО СЛОЖНОЙ ПЛАТФОРМОЙ

          Параллельный манипулятор со сложной платформой (рис. 1) предназначен для воспроизведения в абсолютной системе координат OXYZ семейства заданных дискретных положений точки Р рабочего органа

                                             (1)

при N дискретных значениях обобщенной координаты

                                                                                           (2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Рис. 1 Пространственный параллельный манипулятор позиционирующего типа со сложной платформой

Для решения задачи кинетостатического анализа параллельного манипулятора со сложной платформой рассмотрим уравнения равновесия бинарных звеньев 2, 3, 4 и 6 вида ВВ, СВ, СВ, СС и СС (где В- вращательная и С- сферическая кинематические пары) соответственно.

Рассмотрим уравнения равновесия бинарного звена вида ВВ. С каждым элементом кинематических пар  и  бинарного звена  вида ВВ (рис.2) жестко связываем системы координат   и   .

Все внешние силы и моменты, действующие на звено , приводим в точку приведения   к главному вектору    и главному моменту  . Под действием    и   в кинематических парах  и  возникают силы реакции.

Силы реакции в кинематических парах    и  , действующие на звено   со стороны звеньев  и , приводим в точки  и  и заменим их главными векторами  и главными  моментами  , которые в системах координат  и   имеют следующие компоненты

                          ,       ;                    (4)

          Главные векторы    и главные моменты   в системе координат  имеют компоненты

          ,   ;                               (5)

Главный вектор   и главный момент  внешних сил, а также силу и момент реакции  и  в кинематической паре   приведем в точку  - начале систем координат   и .


Тогда уравнения равновесия бинарного звена   вида ВВ имеют вид

                                                                                             (6)

и

                     ,                             (7)

где компоненты силы реакции   и момента реакции  системах координат и   связаны между собой следующими матричными уравнениями

                         (8)

где   и  - подматрицы вращений матрицы  бинарного звена вида ВВ  и матрицы  вращательной кинематической пары.

Подставляя значения подматриц вращений  и  в уравнения (8), получим

          ,             ,      (9)

Тогда уравнения сил (6) бинарного звена  принимают вид

                               ;                              (10)

В системе уравнений (7) величины  и  являются компонентами вектора момента силы реакции  относительно точки  в системе координат  , определяемого выражением

                               ,                                      (11)

где   - координаты точки приложения   силы реакции  в системе координат .

Кроме того, точка  в системе координат имеет координаты . Тогда между координатами точки  в системах координат   и  существует связь в виде уравнения

 ,                              (12)

где    и    - матрицы поступательных перемещений вдоль осей   на расстояния   и матрицы поворотов вокруг осей   на углы  .

Подставляя в уравнение (12) матрицы переходов, получим

                               ;                                 (13)

          Если подставить (12) в определитель (11) и раскрыть его относительно элементов первой строки, то получим

                          ,                                   (14)

Подставляя компоненты моментов   и  из систем уравнений  (14) и (9) в систему уравнений (7), получим окончательный вид уравнений моментов бинарного звена  вида ВВ

,       (15)

которые совместно с системой уравнений сил (10) составляют уравнения равновесия бинарного звена  вида ВВ.

Системы уравнений равновесия (10) и (15) преобразуем в матричные формы

                                                                                   (16)

                                             (17)

где

,

;

Аналогично получаются уравнения равновесия бинарных звеньев вида ВС и СС.

Уравнения равновесия параллельного манипулятора со сложной платформой имеют вид

                                                                                   (18)

                                                 (19)

                                                                        (20)

                                                                          (21)

                                                                        (22)

                                                                          (23)

                                                                            (24)

                                                                               (25)

                                                                            (26)

                                       .                                          (27)

Литературы

1. Zhumadil Zh. Baigunchekov, Scanderbek U. Joldasbekov, Modular Synthesis of Spatial Manipulating Devices of High Classes, Proceedings of the Twelfth International Conference on CAD/CAM Robotics and Factories of the Future, London, UK, 14-16 August 1996, pp. 685-690.

2. Zhumadil Zh. Baigunchekov, Raj Gill, Anthony S. White, Nurlan Zh. Baigunchekov, The Basis of Structural and Parametric Synthesis of The Parallel Manipulators with Functionally Independent Drives (Part I and Part II), Proceedings of The International Conference on Gearing, Transmissions and Mechanical Systems. 3-6 July 2000, Nottingham Trent University, UK, (Additional Volume), pp. 1-19.