Сурнева Олеся Борисовна

Северо-Кавказский федеральный университет, Россия

2+1 –мерное дифференциальное уравнение в частных производных обладающее парой Лакса

Лемма 1. Нелинейное уравнение в частных производных

(1)

эквивалентно операторному уравнению Лакса , с операторами L и А вида: ,

.

где , - произвольные постоянные, - неизвестная функция.

Лемма 2. Уравнение (1), при , сводится к параболическому квазилинейному уравнению вида

(2)

где , , , .

Лемма 3. Уравнение (2) с помощью замены преобразуется к виду . (3)

Алгоритм метода Хироты:

1. Произвести замену зависимой переменной, так чтобы уравнение имело билинейную форму.

2. Рассмотреть формальные ряды теории возмущений.

3. Построить 1- солитонное решение, провести исследования и доказать существование N- солитонных решений.

Лемма 4. Нелинейное уравнение (3) с помощью замены приводится к однородному виду

(5)

Лемма 5. Выражение (5) эквивалентно уравнению

(6)

где в записи использован оператор дифференцирования Хироты:

Уравнение привилось к билинейному виду как это должно быть при работе с уравнениями, имеющими солитонные решения.

Лемма 6. Равенство (6) эквивалентно системе уравнений

(7)

Точное решение системы (7) можно построить в виде обрывающихся рядов теории возмущений по некоторому малому параметру . Представим функции в виде таких рядов:

(8)

где .

Для получения одно - солитонного решения положим и, считая , ряды (8) обрываются, тогда

(9)

ТЕОРЕМА. Нелинейное уравнение (2) имеет точное решение

, (10)

где произвольные постоянные.

Доказательство. Подставим в виде (9) в систему (7), тогда получим: первое равенство

распадается на два уравнения по степеням показательной функции и

одно из которых выполняется тождественно, в результате имеем одно равенство

(11)

Аналогично поступим и со вторым равенством системы (7) после приведения подобных имеется только показательная функция и ее коэффициент имеет вид

(12)

Полагая и , , система уравнений (7) выполняется тождественно. В результате получено точное решение

.

Так как функции связаны равенством , то имеем следующее решение исходного уравнения в виде (10).

Литература

1. Редькина Т.В. Возможность построения солитонных 1+1 и 2+1 - мерных уравнений, имеющих общую задачу рассеяния//Вестник СГУ, № 43. Ставрополь, 2005, с. 47-52.

2. Редькина Т.В., Лушникова Г.А 2+1 мерная солитонная модель//XV Российская научная конференция. Самара. 2008. С. 239.