УДК 622.775

Канд.техн.наук Сабирова Л.Б.

 

Казахский Национальный технический университет имени К.И.Сатпаева

 

ФИЗИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДИФФУЗИОННОГО РАСТВОРЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ДЛЯ УСЛОЖНЕННЫХ УСЛОВИЙ ЗАЛЕГАНИЯ ПЛАСТОВ

 

Прежде чем переходить к обсуждению и моделированию фильтрации растворов в пористой среде продуктивного пласта и вмещающих пород кратко остановимся на модели физического процесса диффузионного растворения металла. Основная расчетная модель этого процесса, полученная нами ранее, сведена к уравнению:

                             сут,                                   (1)

где tд – время диффузионного растворения куска руды диаметром d, см; eп – проектное значение коэффициента извлечения металла, доли ед.; Dп – коэффициент эффективной диффузии, см2/сут.

         Из формулы (1) следует, что время растворения металла зависит прежде всего от размеров d и от Dп.

         Понятно, что первая величина d относится к разряду неуправляемых параметров при подземном скважинном выщелачивании металлов.

         Вторая величина Dп в принципе также относится к неуправляемому параметру.

         Физические модели диффузионного растворения и фильтрационного переноса металлов рассматривались нами ранее для совершенных скважин. Для сложных условий, оцениваемых критериями такие модели отсутствуют, и их следует скорректировать.

         Рассмотрим диффузионное растворение металла в реагенте.

         В соответствии с законом диффузии Фика запишем модель в виде дифференциального уравнения [1]:

 

                                         

где C(x, y, z, t) – искомая функция распределения металла в пространстве по времени t;       Dх; Dу; Dz - коэффициенты диффузии по координатам х, у, z.

         Для наших исследований интерес представляет одномерный (линейный) закон диффузии, который описывается уравнением:

                                                                                            (2)

         Следует искать решение (2) в виде функции С(x, t) при следующих граничных условиях:

C(x, t) = Co при 0 < x < 1 и t = 0;

C(x, t) = 0 при x = l, x = 0, t > 0,

где Со – исходная концентрация металла, т/см3;

         C(x, t) – текущая концентрация металла по оси х за время t;

         l - размер куска руды, см;

         t – время диффузии, сут.

         Имеется решение такого уравнения [1] в виде бесконечного ряда:

                (3)

         Если положить, что в относительных единицах Со = 1, а Спр = 0,75, т.е. конечное значение диффундирующего металла (растворения) до 75 %, то можно получить простейшее решение, ограничившись первым членом быстро убывающего ряда (3):

                                                                          (4)

         При заданном Dп @ 0,864×10-3 см2/сут. из (4) находим время диффузионного выщелачивания металла:

                  

                    сут,                                                         (5)

где l - средний диаметр куска руды, см;

         Со = 1 и Спр @ 0,7 ¸ 0,75 – относительные единицы содержания металла в руде и извлечения его из руды;

         Dп – эффективный коэффициент диффузии, м2/сут, для металлов [1]

Dп @ 0,864×10-3 см2/сут.

         Анализ формулы (2.5) показывает, что она обладает некоторыми недостатками. Первое - Спр @ 0,7 ¸ 0,75, т.е. весьма узкий, хотя и практически правильный диапазон изменения коэффициента извлечения металла. Второе – при увеличении Спр от 0,7 до 0,75 время tд будет уменьшаться, что является противоречием.

         Исходя из этих замечаний, запишем формулу (5) в виде:

                              сут,                                            (6)

где a - некоторый параметр, l > 0, который определяется статистическим путем или экспериментально по схеме.

         Для определения a принимаем Спр = 0,7, тогда формулу (6) запишем:

                                                           (7)

         Из уравнения (7) имеем:

                                                                             (8)

         Из уравнения (8) легко определить искомый параметр a из уравнения:

                                                                                      (9)

 

         Следовательно, если известно время диффузионного выщелачивания - tд и размер куска l, то по формуле (9) легко подсчитать параметр a.

         Например, для руды месторождения Тохтазан имеем: l = 2 см, Dп = 0,864×10-3 см2/сут, tд = 36 сут.

         Следовательно, для условий руды месторождения Тохтазан имеем уравнение:

                             сут.                                         (10)

         Кроме того, величину a можно рассчитать, если известна функция извлечения металла e(t) в виде:

                                                                                 (11)

где С1 – параметр, определяемый статистически.

         Пусть имеем для условий месторождения Тохтазан e(t) = 0,65; tд = 40 сут.

         Из уравнения (11) имеем:

                                                                                (12)

откуда, решая (12) относительно С1, получим:

или

        

 

При этом, уравнение (11) запишется в виде:

                                                                    (13)

         Пусть задано t = 20 сут, тогда:

e(t) = 0,48, т.е. » 50 % за 20 суток.

         Рассмотрим более сложную руду месторождения Пустынное, для нее tд = 340 сут; e(t) = 0,3 или 30 %, тогда имеем:

         Для извлечения металла до e = 0,5 получим формулу:

 суток,

т.е. в принципе и сульфидные руды можно выщелачивать, только срок существенно растягивается.

         Определим параметр a для руд месторождения Пустынное по формуле (9):

         Тогда формула (6) для определения tд для руд Пустынного будет:

                                       сут.                                          (14)

         Если теперь отделить фракцию 0,5 см и ниже, то время сократится:

 суток,

а при крупности l = 0,6:

 суток.

Из полученных формул следует сделать выводы.

         1. Выведены новые формулы (5), (6) для вычисления времени диффузионного растворения металлов от влияющих факторов: среднего размера куска руды - l, коэффициента диффузии - Dп, коэффициента извлечения металла – Спр при его выщелачивании.

         2. Наиболее сильно на время диффузионного выщелачивания - tд металла влияет размер куска руды, которое пропорционально  квадрату линейного размера куска.

         Для проектирования технологических систем выщелачивания металлов одним из главных параметров является время диффузионного растворения и извлечения конкретного металла до проектного значения коэффициента извлечения. Диффузионное растворение металлов достаточно теоретически освещено в известной монографии П. Шьюмана [1] и других работах [2, 3]. Однако до сих пор нет достаточно надежных аналитических методов, позволяющих определить время растворения металлов в функции от основных влияющих факторов.

         Будем следовать П. Шьюмону [1] и искать расчетные модели для определения времени диффузионного растворения металла для идеальных форм рудного или иного сырья.

         Рассмотрим дифференциальное уравнение (2) второго закона Фика при одномерной диффузии в пластине:

 

                                                                                              (15)

 

где С(x, t) – концентрация вещества С как функция одной координаты – х и времени t;

         Dп – эффективный коэффициент диффузии.

         Если принять, что Dп не зависит от времени и от координаты х, то известно решение (15) в виде бесконечного сходящегося ряда:

        

                     (16)

 

где

         Со – начальная концентрация металла в пластине – h;

         х – глубина диффузии.

         При выщелачивании практически невозможно определить концентрацию полезного компонента – металла на различной глубине куска. Для  получения общего количества выщелоченного металла необходимо знать среднюю концентрацию металла  в идеальной пластине, толщиной – h. Для этого необходимо взять интеграл от функции (16) по h в виде:

                                                                            (17)

         Подставляя в (17) значение С(x, t) (16) после интегрирования и необходимых преобразований получим новый ряд:

                                        (18)

         Рассмотрим функцию ряда -  до 3-го члена включительно, тогда получим:

                                                                  (19)

         С погрешностью не более 3% можно из (19) записать уравнение:

                                                                 (20)

         Решая уравнение (20) относительно времени t выщелачивания до , получим:

                    сут,                                                 (21)

где h измеряется в сантиметрах;

         Dп измеряется в см2/сут;

         Со и  - измеряются в относительных единицах, поэтому Со = 1, а  равно проектному коэффициенту извлечения металла из руды, т.е.  = eп.

         Формула (21) является основополагающей для определения времени диффузионного растворения металла при выщелачивании из пластин.

         Рассмотрим численный пример.

         Пусть дано: h = 2 см, Спр = 0,7, Dп = 0,864×10-3 см2/сут. [1], тогда:

 суток.

         Если, например, крупность кусков породы уменьшить вдвое, т.е. h = 1 см, то время сократится в четыре раза и составит tд = 57 суток, а при h = 0,5 см  всего 14 суток. Из этого простого примера следует, что размер куска рудного сырья является главным показателем при диффузионном растворении.

         Рассмотрим также решение задачи определения времени диффузионного растворения для шара с радиусом – r, см. В сферической системе координат второй закон Фика имеет вид [1]:

                                                                                (22)

 

         Известно решение этого уравнения для малых времен в виде для среднего значения :

                                                         (23)

где

                                                                               (24)

 

         Подставляя (24) в уравнение (23) и решая его относительно времени tд, получим для шара:

                             сут.                              

или иначе

                                                                (25)  

 

         Сопоставим теперь численные значения для пластины (21) и шара для только что рассмотренного примера.

         По формуле имеем при l = 2 см, тогда r = 1 см:

 

 суток.

 

         При r = 0,5 см, tд = 64 сут; и при r = 0,2 см, tд = 16 суток.

         Из приведенных данных следует, что формулы (21) и (24) дают практически одинаковый результат.

         Полученные путем теоретического анализа фундаментальные формулы для вычисления времени диффузионного растворения или выщелачивания металлов рекомендуются для практических расчетов при проектировании и управлении технологических систем подземного скважинного выщелачивания.

 

ЛИТЕРАТУРА:

1.                 Шьюман П. Диффузия в твердых телах, М., Наука, 1968, 320с.

2.                 Рогов Е.И., Язиков В.Г., Рогов А.Е. Математическое моделирование в горном деле. Алматы, Lem., 2002, 204с.

3.                 Рогов А.Е., Рыспанов Н.Б. Математические основы геотехнологии. Алматы., FORTRESS, 2007, 367с.