Наурызбаева Р.М.

Академия Пограничной службы Комитета Национальной безопасности Республики Казахстан, г. Алматы

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КРИВЫХ

Геометрические и механические свойства кривых используются в различных механизмах, деталях машин, строительных конструкциях, в оптике, в изобразительном искусстве, в архитектуре, в теории и практике геометрических построений, в черчении и т. д. Некоторые кривые непосредственно реализуются в физических яв-
лениях, в природе и в обыденной жизни. Поэтому даже общее
знакомство с отдельными кривыми и их свойствами возбуждает особый интерес, развивает математическое мышление и обогащает сознание многообразными связями математической теории с конкретным
опытом. Одни из этих кривых интересны в теоретическом отношении,
другие находят практическое применение, третьи обладают оригинальными особенностями формы, четвертые играли ту или иную роль
в истории математики.

В данной работе рассмотрим один из интереснейших фактов, касающийся площадей фигур ограниченых кривыми в полярной системе координат.

Нам известно, что приняты два вида полярных координат:

1) строго полярные координаты, где ,

2) обобщенная полярная система координат, где как , так и .

Рассматрим полярные координаты первого вида.

Если существует уравнение кривой в полярной системе координат, то ее можно рассматривать как функцию переменной , где .

Лемма. Если функция определена и непрерывна на отрезках , где Т-период данной функции, то площади ограниченные

графиком данной функции на этих промежутках равны, где .

Доказательство. Графиком данной функций замкнутые кривые, так область определения функции состоит из замкнутых отрезков, т.е. .

Как известно, площадь фигуры ограниченной графиком функции на отрезке в полярной системе коодинат равна определенному интегралу от функции в пределах от до , как предел частичной интегральной суммы, т.е.

,

где , .

При этом, если функция является периодическая функция с периодом Т, то функция так же является функцией с периодом Т, хотя меньший период может оказаться не Т.

Разобьем промежуток на п частей (Рис.1).

Рис.1

Возьмем, произвольным образом, из каждого промежутка точки , ,

Тогда в силу периодичности данной функции получаем

Лемма доказана.

Теорема. Если непрерывная периодическая функция с периодом , то площади фигур, ограниченные графиками функций и равны между собой, где (множество натуральных чисел).

Доказательство. Пусть сначала функция с периодом определена на отрезке . График этой функций замкнутая кривая, так как по условию теоремы функция периодическая функция с периодом , т.е. .

И пусть площадь фигуры ограниченной графиком функций, равна:

где -одна из первообразных данной функции.

Если умножить аргумент функций на число , то получаем функцию с периодом . Областью определения этой функций является объединение следующих отрезков.

Тогда площадь фигуры ограниченных графиком функций равна , где площади фигур ограниченных графиками функций и лучами , .

При помощи замены получаем:

В силу доказанной леммы

. . .

тогда

... .

Следовательно

Пусть теперь функция с периодом и пусть она определена на отрезке . Графиком данной функций являются замкнутая кривая, так как в этом промежутке функция не отрицательна, т.е. . Умножая аргумент функции на натуральное число мы получаем функцию .

Область определения функции имеет вид:

( 3 )

Функция имеет период , на каждом отрезке области определения график функции замкнут.

Пусть площадь фигуры, ограниченной графиком функции на отрезке имеет вид:

Тогда площадь фигуры ограниченной графиком функции равна

, где - равные площади фигур ограниченных графиком функции на каждом отрезке из (3), т.е.

... .

Действительно, в силу доказанной леммы и замены получаем

. . .

Следовательно,

Теорема доказана.

Пример. Найти площадь фигуры ограниченной графиком функций в полярной системе координат.

Решение: Чтобы найти площадь фигуры ограниченной графиком функции в полярной системе координат, нам достаточно найти площадь фигуры ограниченной графиком функций в силу доказанной теоремы.

Найдем область определения функции Для этого решаем неравенство . Отсюда . Следовательно,

Далее

Покажем, что площадь фигуры, ограниченной графиком функции в полярной системе координат также равна этому значению . Аналогично, имеем, что область опрделения функции .

или (Рис.2).

Рис.2

Период функции равна Тогда можно вычислить площадь в каждом отрезке области определения в отдельности.

Например, площадь в первом отрезке:

, .

.

Из последнего видно, что значения площади фигур ограниченных графиками функций и , равны.

Литература

1. Наурызбаева Р.М. Исследование функций в полярной системе координат // Материалы VI международной научно-практической конференции «Новини на научния прогресс – 2010», София , 17-25 августа. С. 52-53.

2. Наурызбаева Р.М. Полярлық координаталар жүйесінде функцияны зерттеу // Ғылыми-зерттеу жұмысы. – Алматы, 2010. – 165 бет.