Акылова Ж.М.

Средняя общеобразовательная школа № 66 г. Караганды (e-mail:akylova1963.11@mail.ru)

 

Решение олимпиадных задач по математике

1.Найти два числа, зная их сумму 168 и общий делитель 24. Решения

Решение: Так как каждое из чисел делится на 24, то их можно представить как 24а и 24b.

24а + 24b = 168

а + b = 7, следовательно, 24 содержится в одном числе 1 раз, 2 раза или 3 раза, а в другом тогда 6 раз, 5 раз или 4 раза, т.е. искомые числа 24 и 144; 48 и 120; 96 и 72.

2.Существует ли такой выпуклый многоугольник, у которого внешние углы пропорциональны числам 3:3:2:2?

  Решение: Да, его внешние углы 108 º, 108 º, 72 º, 72 º (равнобедренная трапеция).

         3. Я задумал число, вычел из него 1,05, разность умножил на 0,8, к произведению прибавил 2,84, полученную сумму разделил на 0,01 и получил 700. Какое число я задумал?

Решение:. [(x – 1,05)·0,8 + 2,84] :0,01 = 700; х = 6,25

        4.Сумма двух чисел равна 640. Если разделить большее число на меньшее, то в частном получится 7 и в сотатке 64. Найти эти числа.

  Решение:. 72 и 568

5. Завод выпускает компьютеры стоимостью по 80 тыс тг. и по 64 тыс тг. Первая партия стоила 5760 тыс тг., а вторая 6560 тыс.тг. Во втброй партии более дорогих при­емников было выпущено вдвое меньше, чем в первой, а всего во второй партии было на 17 приемников больше, чем в первой. Сколько приемников выпустил завод в обеих партиях вместе?

 Решение:. Если завод в первой партии выпустил х компьютеров по 80 тыс тг. и у приемников по 64 тыс тг., то 80х + 64у=5760.

Во второй партии по 80 тыс тг. было выпущено х/2 компьютеров.

В первой партии всего выпущено (х + у) компьютеров, значит, во второй (х + у+ 17) компьютеров. Компьютеров по 64 тыс тг. во второй партии выпущено (х + у + 17 - х/2), значит,

80 • х/2 + 64 (х + у + 17 – х/2) = 6560.

Получим систему двух уравнений:

80х + 64у = 5760                                       х = 36

80• х/2 + 64(х + у+17-х/2) = 6560          у = 45

В первой партии завод выпустил 36 + 45 = 81 (компьютер), во второй партии 81 + 17 = 98 (компьютеров), а всего 81 +98= 179 (штук).

6. Имеются два куска ткани; 1 м ткани первого куска стоит 8 тг., а 1 м ткани второго куска — 12 тг. Стоимость всей ткани составляет 1200 тг. Если цену 1 м первого куска поднять на 30%, а второго — на 25%, то вся ткань 'стоила бы больше на 7/32 ее новой стоимости. Узнать длину каждого куска.

  Решение: 8 + 8 • 0,3 = 2,4 +8 = 10,4  (тг.) – новая цена 1 м первого куска.

    12+12•0,25= 12 + 3=15(тг.) – новая цена 1 м второго куска.

Если за 1 принять новую стоимость всей ткани, то прежняя стоимость 1200 тг. Составит 25/32 новой стоимости (1 – 7/32), следовательно, новая стоимость всей ткани равна 1200 : 25/32 = 1536 (тг.).

Пусть в первом куске х м, а во втором у м, тогда

8х + 12у = 1200           х = 90

10,4х + 15у = 1536   у = 40

 

7. Моторная лодка прошла по течению реки от пристани Пашково до пристани Иваньково и затем про­тив течения от пристани Иваньково, мимо пристани Пашково, до пристани Васильево и затратила на весь этот путь 9ч 20 мин. После этого лодка за 9 ч прошла путь от пристани Васильево до пристани Иваньково и от пристани Иваньково до пристани Пашково. Определить расстояние от пристани Пашково до пристани Василь» ево, если скорость лодки в стоячей воде 10 км/ч, а ско­рость течения реки 2 км/ч.

  Решение: Пусть расстояние от Пашково до Васильево х км, а от Пашково до Иваньково у км. Скорость лодки по течению 12 км/ч (10 + 2 = 12), а против течения 8 км/ч (10 – 2 = 8).

В первый раз лодка прошла у км со скоростью 12 км/ч, т.е. затратила у/12 ч и (х + у) км со скоростью  8 км/ч, затратив (х+у)/8 ч. Весь этот путь она прошла за (у/12 + (х+у)/8) ч, что по условию составляет 9 1/3 ч, значит, у/12 + (х+у)/8 = 9 1/3.

Во второй раз лодка прошла (х + у) км со скоростью 12 км/ч и у км со скоростью 8 км/ч, т. е. на весь путь она затратила (у/8 + (х+у)/12), что составляет 9ч, значит, у/8 + (х+у)/12 = 9ч.

Получили систему двух уравнений:

у/12 + (х+у)/8 = 9 1/3      х = 8

у/8 + (х+у)/12 = 9ч      у = 40

8. В одном из городов Грузии часть жителей умеет говорить только по-грузински, часть – только по-русски. По-грузински говорят 85% всех жителей, по-русски – 75%. Сколько процентов всех жителей говорит на обоих языках?

  Решение:.1) 100% – 75% = 25% всех жителей не говорят по-русски.

   2) 85% - 25% = 60% говорят по-русски и по-грузински.

         9. Один рабочий может выполнить работу за 4 ч, а другой за 6 ч. Сколько времени должен работать третий рабочий, если его производительность равна средней производительности первых двух?

  Решение:. 4,8 часов

10. Биссектрисы треугольника АВС пересекаются в точке О. Через точку О проходят две прямые, которые параллельны прямым АВ и АС и пересекаются с ВС в точках D и Е. Доказать, что периметр треугольника OED равен отрезку ВС.

 Решение:. 1) Продолжим FD пересечения с ВС в точке К. Угол CDF равен углу CDK (CD общий катет, угол ECD = углу DCA), значит, KD = DF.

   2) DE – средняя линия треугольника FKC, поэтому DE=0,5CF.

   3) DM=0,5DE=0,25CF

 

Литература:

 

1. А. А. Заславский, В. Ю. Протасов, Д. И. Шарыгин, - Геометрические олимпиады: учебник / Шарыгин Д.И. – Москва: МЦНМО, 2007. – 152 с.

2. А. В.Фарков, - Учимся решать олимпиадные задачи. Геометрия 5-11 классы». – Москва, Айрис-пресс, 2007