Математика/5. Математическое моделирование

 

Д.ф.-м.н. Джайчибеков Н.Ж.

Евразийский национальный университет им.Л.Н.Гумилева, Казахстан

Д.ф.-м.н. Матвеев С.К.

Санкт-Петербургский государственный университет, Россия

 

Решение задачи о структуре ударной волны

для конечных чисел Маха

 

В [1-3] рассмотрено применение в динамике разреженного газа эвристической модели течения, ранее разработанной для описания течения газа с твердыми частицами [4]. В этой модели молекулы подразделяются на 2  множества, каждое из которых описывается континуально, причем столкновения молекул из одного множества порождают напряжения и тепловые потоки в этом множестве, а столкновения молекул разных множеств приводят к переходу частиц из одного множества в другое. В указанных работах частицы одного из множеств (назовем их s-частицами) двигались упорядоченно без хаотической составляющей скорости и естественно, что все столкновения таких частиц с частицами другого множества (t-частицами) приводили к переходу s-частиц в множество хаотически движущихся t-частиц.

Достоинством этой модели является ее простота, поскольку легко подсчитать массу, импульс и энергию, переносимые частицами при таком переходе, и не требуется никаких характеристик взаимодействия частиц, кроме частоты столкновений. Применение этой модели к расчету структуры скачка уплотнения [1] и обтекания сферы разреженным газом [2,3] показало удовлетворительную точность.

Предположение, что s-частицы движутся упорядоченно (с пренебрежимо малой хаотической составляющей скорости), ограничивает применение модели случаем гиперзвукового течения газа. В настоящей работе дается обобщение описанной модели на случай, когда частицы обоих множеств имеют хаотическую составляющую скорости, это дает возможность использовать модель при любых числах Маха.

Как и раньше будем считать молекулы твердыми абсолютно упругими сферами и по-прежнему будем считать, что при любом столкновении частиц из разных множеств, происходит переход частицы из одного множества в другое. В каждом из множеств будем считать распределение частиц по скоростям близким к максвелловскому и в соответствии с этим определять напряжения и тепловые потоки. Однако, если раньше было естественно считать, что упорядоченно движущиеся s-частицы после столкновений переходят в множество хаотически движущихся t-частиц, то теперь в случае, когда в обоих множествах есть хаотическое движение, будем считать вероятным и переход t-частиц в множество s-частиц. Обозначим  вероятность при столкновении s-частицы перейти в множество t-частиц, а вероятность t-частицы перейти в множество s-частиц, соответственно, .

Вероятность перехода частиц из одного множества в другое естественно связать с интенсивностью хаотического движения частиц в соответствующем множестве, причем больше вероятность перехода в то множество, в котором больше интенсивность хаотического движения. Эту интенсивность можно характеризовать средним модулем скорости хаотического движения , где p – давление, – плотность i-го газа (i=s,t), – показатель адиабаты, причем = 5/3, если вращение частиц не учитывается, и = 4/3, если энергия хаотического движения равномерно распределена по вращательным и поступательным степеням свободы.

Наиболее естественным является предположение, что  пропорционально , поскольку  есть некоторый объем в пространстве скоростей, характеризующий интенсивность хаотического движения частиц, а  есть вероятность столкнувшейся частицы оказаться после столкновения в множестве t. Аналогично  пропорционально , откуда следует .

Рассмотрим теперь на основе описанной модели структуру скачка уплотнения в газе, следуя [1], где это сделано для случая гиперзвукового потока перед скачком. Уравнения баланса массы, импульса и энергии для s- и t-компонентов потока при континуальном описании имеют вид:

,           ,                             (1)

,                    (2)

,                       (3)

             (4)

                (5)

где  - плотность и скорость компонентов (индекс указывает соответствующий компонент),  - кинетическая энергия хаотического движения молекул,  - удельная теплоемкость газа при постоянном объеме,  - масса молекул одного множества, столкнувшихся с молекулами другого множества в единичном объеме в единицу времени. Приближенно будем полагать

                         .                                       (6)

Здесь m – масса молекул, d – их диаметр;  - вязкость и теплопроводность компонентов, которые могут быть определены как для газа из твердых сфер. Для каждого из компонентов считается справедливым уравнение состояния

                                            ,                                                      (7)

             Для расчета структуры скачка с помощью приведенных уравнений сформулируем граничные условия:

                           при    ,  , ,  ; 

                           и при    ,  , ,  .

Вследствие сохранения массы, импульса и энергии потока должны выполняться условия динамической совместности:

                       ,    ,

где  - число Маха потока перед скачком.

             В дальнейшем перейдем к безразмерным переменным, взяв за масштабы скорости, плотности и длины соответственно  и сохранив прежние обозначения.

             Сначала будем считать оба компонента невязкими и нетеплопроводными, положив  и . Тогда уравнения (1) – (5) можно записать в виде

                             ,            ;                                  (8)

        ,            ;                 (9)

       ,            ;                (10)

где , , , , , .

       Складывая попарно уравнения (8), (9) и (10), легко получить после интегрирования и определения констант из граничных условий

, , .

                                                                                                                   Из решения уравнений (8 – 10) можно получить, что  не зависят от x, постоянными также являются  и зависящие от них , а изменяются  только плотности компонент  и зависящие от них . Из первого уравнения (8) имеем , откуда, выбрав за начало отсчета x точку, где, имеем  , а из второго уравнения (8) получим . Здесь обозначено

       

          То обстоятельство, что скорости и внутренние энергии компонент в соответствии с полученным решением не зависят от x, приводит к тому, что их вязкость и теплопроводность не существенны и полученное решение справедливо и для вязкого теплопроводного газа.

 

Литература:

 

1. Матвеев С.К., Кочерыженков Г.В. Структура ударных волн в газах и газовзвесях. // Сб. Динамические процессы в газах и твердых телах. Л., 1990. С. 28 – 36.

     2. Джайчибеков Н.Ж., Матвеев С.К. Применение трехкомпонентной модели к расчету обтекания тел газовзвесью и разреженным газом. Журнал ПМТФ. СО АН СССР, Новосибирск, 1991, №1,  – С. 39-42.

     3. Матвеев С.К., Джайчибеков Н.Ж. Расчет обтекания сферы разреженным газом при произвольном числе Кнудсена. // Вестник Санкт-Петербургского университета. Санкт-Петербург. 1992. сер.1, вып.2. (№8) – С. 77-81.

    4. Матвеев С.К. Математическое описание обтекания тел потоком газовзвеси с учетом влияния отраженных частиц. // Сб. Движение сжимаемых жидкостей и неоднородных сред. Л., 1982. Вып.7. С. 189 – 201.