Математика/5. Математическое моделирование

к.т.н., доцент Райко Г.А.

Херсонский национальный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ ПРОЕКТНОЙ КОМАНДЫ

В настоящее время в системе управления организационными системами все большее внимание уделяется моделированию командной деятельности. Причинами повышенного интереса являются: увеличение конкуренции, научно-технический прогресс, оперативность решения сложных проблем в соответствии со стремительным изменением внешней среды, текучестью кадров.

Под командой понимается коллектив (объединение людей, осуществляющих совместную деятельность и обладающих общими интересами), способный достигать цели автономно и согласованно, при минимальных управляющих воздействиях.

Существенными в приведенном определении команды являются два аспекта. Первый – достижение цели, то есть конечный результат совместной деятельности является для команды системообразующим фактором. Второй аспект – автономность и согласованность деятельности – означает, что каждый из членов команды демонстрирует поведение, требуемое в данных условиях (позволяющее достичь поставленной цели).

Следует разделять два временных этапа существования команды – этап ее формирования и этап функционирования. Формирование команды может быть, в свою очередь, подразделено на формирование состава команды и ее адаптацию, после чего возможен уже этап «стационарного» функционирования. Под формированием команды понимается процесс адаптации ее фиксированного (уже сформированного) состава.

Общая модель команды как организационной системы включает:

- множество участников (состав системы),

- технологические, информационные, материальные и др. связи между ними (структура системы),

- множества допустимых действий участников системы, отражающие существующие физические, технологические, нормативные и др. ограничения на те состояния (действия), в которых могут находиться (выбирать самостоятельно) участники системы;

- целевые функции (описывающих интересы и предпочтения участников), стремление к максимизации которых отражает рациональность поведения активных участников системы;

- информированность и порядок функционирования.

В настоящее время в зависимости от используемого аппарата моделирования можно выделить некоторые группы математических моделей формирования и функционирования команд:

- «задача о назначении», где применяют аппарат оптимизации для решения задач формирования состава команд, распределения ролей и объемов работ;

- теоретико-игровые модели, использующие аппарат теории игр для описания и исследования процессов формирования и функционирования команд, включающее (условно) в себя такие «ветви» как: модель Маршака-Раднера; модели коллективного стимулирования; модели репутации и норм деятельности;

- «экспериментальные исследования» команд, включающие имитационные эксперименты и деловые игры;

- «рефлексивные модели», использующие аппарат теории рефлексивных игр для описания взаимодействия членов команды, имеющих несовпадающие взаимные представления о существенных параметрах друг друга.

Термин «задачи о назначении» является условным и охватывает широкий класс оптимизационных задач, включает задачи формирования состава команд, задачи распределения функций (ролей) в неоднородных командах, задачи распределения объемов работ. Перечисленные три типа задач взаимосвязаны и решаются «циклически».

«Задачи о назначении» учитывают такие характеристики команды, как: единство цели, совместную деятельность, специализацию и взаимодополняемость ролей, но почти не учитывают такие свойства команды, как: непротиворечивость интересов ее членов и автономность команды.

В модели Маршака-Раднера целевые функции всех агентов – членов команды – одинаковы (более того, в некоторых работах команда определяется именно как множество агентов, имеющих совпадающие целевые функции). Данное предположение отражает такое свойство команды, как единство цели деятельности ее членов. Но, агенты в общем случае характеризуются различающимися множествами допустимых действий и имеют различную априорную информацию о состоянии природы (совокупность этих представлений составляет информационную структуру команды) [1].

В терминологии Маршака-Раднера команда – множество агентов , в которой -ый агент принимает решение (выбирает действие), , . Выигрыш команды зависит от вектора решений членов команды и от состояния природы .

Агент принимает решения в соответствии со своей функцией принятия решений – отображением , принадлежащим множеству допустимых отображений . Вектор называется функцией принятия решений команды.

Если вероятностное распределение зафиксировано на множестве , то ожидаемый выигрыш команды равен:

(1)

Если априори известно вероятностное распределение на множестве распределений , то можно вычислить Байесовский выигрыш команды как математическое ожидание выражении (1).

Функция принятия решений , максимизирующая Байесовский выигрыш команды, называется Байесовской функцией принятия решений [2].

Пусть в команду входит множество агентов , где -ый агент принимает решение , учитывая что . Результат деятельности команды , где – функция агрегирования, которая зависит от вектора действий всех агентов и наблюдается центром.

Система стимулирования ставит в соответствие результату деятельности команды индивидуальные неотрицательные (limited liability condition) вознаграждения ее членов. На систему стимулирования может быть наложено бюджетное ограничение (или ограничение сбалансированности):

Целевая функция -го агента представляет собой разность между полезностью от вознаграждения и затратами , причем последние зависят от вектора действий агентов и типа -го агента: .

Относительно функций затрат обычно предполагают, что они непрерывно дифференцируемы, возрастают и выпуклы по действию соответствующего агента, при этом – множество равновесий Нэша игры агентов при заданной системе стимулирования :

,

где – обстановка игры для -го агента.

Целевая функция центра представляет собой разность между его доходом от результата деятельности команды и суммарным стимулированием, выплаченным агентам: .

Задача стимулирования команды (задача коллективного стимулирования) заключается в выборе системы стимулирования (1), которая максимизировала бы эффективность стимулирования – гарантированный выигрыш центра на множестве равновесий игры агентов:

.

Одной из первых моделей стимулирования в командах (ставшей хрестоматийной) является предложенная Б. Холмстромом, в которой: действия агентов не наблюдаемы, неопределенность отсутствует, затраты агентов сепарабельны, бюджетное ограничение присутствует, агенты нейтральны к риску, типы агентов известны всем участникам – и центру и всем агентам [3].

Теорема Холмстрома гласит, что в рамках введенных предположений не существует системы стимулирования, которая удовлетворяла бы балансовому ограничению и реализовывала бы вектор действий агентов, максимизирующий сумму целевых функций всех агентов и центра, как равновесие Нэша их игры. Для существования такой системы стимулирования достаточно предположить, что бюджетное ограничение выполнено как неравенство, или что агенты не склонны к риску.

Множество векторов действий агентов, приводящих к заданному результату деятельности команды, представим: В случае наблюдаемых действий агентов минимальные затраты центра на стимулирование по реализации вектора действий равны суммарным затратам агентов [3]. Минимальные суммарные затраты агентов по достижению результата деятельности равны:

а также множество действий , на котором этот минимум достигается. Фиксирем произвольный результат деятельности , произвольный вектор и набор положительных констант .

При дополнительном предположении «технического» характера: функция не убывает по , доказано, что:

1) при использовании центром системы стимулирования

, (2)

вектор действий агентов реализуется как единственное равновесие с минимальными затратами центра на стимулирование по реализации результата , равными: , где _;

2) система стимулирования (2) является -оптимальной.

На втором шаге решения задачи стимулирования ищется наиболее выгодный для центра результат деятельности команды как решение задачи оптимального согласованного планирования [4]:

ё (3)

Таким образом, выражения (2)-(3) дают решение задачи синтеза оптимальной системы стимулирования результатов совместной деятельности членов команды в условиях полной информированности.

Таким образом, модели коллективного стимулирования учитывают такие характеристики команды, как: единство цели, совместная деятельность, коллективная ответственность, автономность деятельности. С другой стороны, этот класс моделей почти не учитывает такие свойства команды, как: устойчивость команды, специализация и взаимодополняемость ролей.

Литература:

1. Новиков Д.А. Математические модели формирования и функционирования команд. – М.: Издательство физико-математической литературы, 2008. – 184 с.

2. Marshak J., Radner R. Economic theory of teams. – New Haven – London: Yale Univ. Press, 1976.

3. Holmstrom B. Moral hazard in teams // Bell Journal of Economics. 1982. Vol. 13. P. 324 – 340.

4. Васильева О.Н., Засканов В.В., Иванов Д.Ю., Новиков Д.А. Модели и методы материального стимулирования (теория и практика). – М.: ЛЕНАНД, 2007.