МАТЕМАТИКА/ 4.Прикладная математика

Ладин Р.А., Снежкина О.В.

Пензенский государственный университет архитектуры и строительства, Россия

Приближенные методы численного дифференцирования

При решении многих практических задач возникает необходимость получить значения производных различных порядков функции , заданной в виде таблицы или сложного аналитического выражения. В этих случаях применить непосредственно методы дифференциального исчисления либо невозможно, либо затруднительно. Тогда используют приближенные методы численного дифференцирования. Простейшие выражения для производных получаются в результате дифференцирования интерполяционных формул. Итак, рассмотрим следующую задачу. На сетке в узлах заданы значения функции , непрерывно дифференцируемой раз. Требуется вычислить производную , ϵ и оценить погрешность.

Один из возможных способов решения этой задачи заключается в следующем. Построим для функции по узлам интерполяционный многочлен с остаточным членом , так что

(1)

Продифференцируем правую и левую части соотношения (1) раз и положим :

(2)

Для достаточно гладких функций, т.е. для функций с ограниченными производными, достаточного количества узлов и достаточной точности вычислений, величина мала и является хорошим приближением для , так что можно положить

(3)

В практических расчетах численное дифференцирование оказывается весьма чувствительным к ошибкам в исходной информации, отбрасыванию членов ряда и к другим подобным операциям. Кроме того, высокая точность интерполирования совсем не гарантирует высокой точности интерполяционной формулы для производных . Поэтому численное дифференцирование следует применять осторожно и, как правило, для небольших .

Учитывая сказанное, а также то, что вычисление высших производных может быть сведено к последовательному вычислению низших, остановимся более подробно на получении расчетных формул для и в узлах равномерной сетки. Для получения производных в узловых точках целесообразно использовать интерполяционный многочлен Стирлинга. Так, дифференцируя многочлен Стирлинга и его остаточный член по и полагая получим следующие выражения для производной:

(4)

(5)

Дифференцируя многочлен Стирлинга два раза по и вычисляя значение второй производной в точке , имеем

(6)

(7)

Для вычисления производной точно в середине между узлами применяют многочлен Бесселя. В этом случае соответствующие формулы для производной имеют вид

(8)

(9)

Практический интерес представляют также так называемые формулы одностороннего дифференцирования, позволяющие вычислить по узлам (i=0, 1,…,k,…или i=0,-1,…,-k,…). Построение этих формул удобно провести с помощью первого и второго интерполяционных многочленов Ньютона.

Дифференцируя первый многочлен Ньютона по и вычисляя значение производной в точке для и получим соответственно следующие формулы:

( 10)

(11)

Аналогично, дифференцируя второй многочлен Ньютона, для и соответственно имеем

(12)

(13)

Приведем снова все формулы второго порядка, выразив входящие в них конечные разности непосредственно через значения функции . Из соотношений (4), (6) и (8), имеем:

(14)

(15)

(16)

Соотношения (11) и (13) соответственно дают

(17)

(18)

Из приведенных выше формул видно, что с уменьшением шага сетки уменьшается и погрешность метода. Однако если значения функции заданы приближенно, например, с одинаковой абсолютной погрешностью , то при использовании формул численного дифференцирования суммарная погрешность будет содержать дополнительное слагаемое, обратно пропорциональное (-порядок производной). Поэтому уменьшение разумно лишь в определённых пределах.

Пример. Вычислить для функции заданной в виде следующей таблицы:

x	1,2	1,3	1,4	1,5	1,6
у	0,18	0,26	0,34	0,41	0,47

На основании формул (4) и (6) соответственно получаем: