Математика/4. Прикладная математика

К. ф.‑м. н. Карнаух Т.А.

КНУ им. Т. Шевченко, Украина

Построение агрегированных возможностей

При решении задач распознавания можно оперировать возможностью того, что расстояние между исследуемым объектом и образцом не превосходит некоторой малой величины. В случае, когда исследуемый объект предстает перед нами как «черный ящик», о котором мы располагаем только конечной информацией, оперировать понятием его равенства с образцом математически не представляется возможным; аналогично для большинства практических задач будет неприменима и вероятностная модель. Большее, чем тут можно довольствоваться, — на основании экспертных оценок оценивать его близость с образцом, которая может быть формализована в виде возможности [1] в псевдометрическом пространстве [2].

Для решения задачи могут использоваться точки зрения нескольких экспертов, поэтому естественным образом возникает задача объединения, т.е. агрегации, нескольких экспертных оценок (т.е. возможностей) в единую оценку, на основании которой и будет приниматься решение.

Для начала рассмотрим вопрос конструирования псевдометрических пространств. Наиболее типичной тут является операция декартового произведения.

Теорема 1. Для псевдометрических пространств (X₁, d₁) и (X₂, d₂) псевдометрическими пространствами будут

1) (X₁, cd₁), где c некоторая положительная константа;

2) (X₁´X₂, d_(p)), где

d_(p)((x₁, x₂), (y₁, y₂)) = ((d₁(x₁, x₂))^p+(d₂(y₁, y₂))^p)^1/p, pÎ[1;+¥);

3) (X₁´X₂, d), где d((x₁, x₂), (y₁, y₂)) = d₁(x₁, x₂)Úd₂(y₁, y₂), где операция Ú обозначает максимум двух величин.

Доказательство теоремы следует из определения псевдометрического пространства и свойств метрики d_p евклидового пространства [3].

Следствие 1. Для псевдометрических пространств (X₁, d₁) и (X₂, d₂) и для положительных констант c₁, c₂ псевдометрическими пространствами будут

1) (X₁´X₂, d), где d((x₁, x₂), (y₁, y₂)) = (c₁(d₁(x₁, x₂))^p+ c₂(d₂(y₁, y₂))^p)^1/p, при фиксированном значении pÎ[1;+¥);

2) c₁d₁(x₁, x₂)Úc₂d₂(y₁, y₂).

Приведенные конструкции несложно перенести на декартово произведение произвольной конечной совокупности псевдометрических пространств.

Актуальным является и вопрос объединения точки зрения нескольких экспертов для принятия общего решения. Если точке зрения каждого отдельного эксперта отвечает собственная функция возможности, то покажем пути решения задачи построения общей точки зрения. Имеет место такая теорема.

Теорема 2. Для метрическо-возможностных пространств (X, d, p₁) и (X, d, p₂) метрическо-возможностными будут пространства

1) (X, d, p), где p(x, y, a) =  c₁p₁(x, y, a) + c₂p₂(x, y, a), де c₁, c₂>0, c₁+c₂ = 1;

2) (X, d, p), где p(x, y, a) =  p₁(x, y, a) Ú p₂(x, y, a);

3) (X, d, p), где p(x, y, a) =  p₁(x, y, a) Ù p₂(x, y, a).

Кроме того, если p₁(x, y, a) и p₂(x, y, a) являются необходимостями в пространстве (X, d), то построенные возможности p также будут в нем необходимостями. Если p₁(x, y, a) и p₂(x, y, a) — ультравозможности в пространстве (X, d), то построенные возможности p также будут в нем ультравозможностями.

Доказательство теоремы сводится к формальной проверке выполнения запрашиваемых свойст p.

Заметим, что приведенные конструкции несложно обобщить на случай произвольной конечной совокупности возможностей.

Содержательно первый вариант построения соответствует ситуации, когда точки зрения экспертов суммируются с соответствующим весом. Во втором варианте решение на основании обобщенной возможности p будет приниматься, если оно принималось бы на основании хотя бы одной возможности. В последнем варианте решение принимается, если оно принимается на основании каждой из имеющихся точек зрения. В зависимости от задач и критериев при построении конкретного механизма принятия решения можно выбирать произвольную из приведенных стратегий. Так, при распознавании бота по его действиям можно оценивать близость алгоритма его поведения к множеству стандартных программных поведений на основе обобщающей оценки для каждого стандартного поведения в отдельности. Такой подход в зависимости от текущей конъюнктуры позволяет настраивать веса каждой из оценок, при необходимости вводить в множество стандартных программных поведений новые или удалять/уменьшать веса некоторых старых, настраивая/обучая таким образом программу распознавания.

Также можно предложить подход, когда при построении агрегированной возможности p из значений возможностей p₁, …, p_n выбирается медиана или другая порядковая статистика. Например, объекты признаются идентичными, если большинство экспертов признали их идентичными.

Литература:

1. Карнаух Т.О. Метрично-можливісний підхід до задач розпізнавання. / Т.О. Карнаух // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія фізико-математичні науки. – 2012. – Вип. 3. – С. 167–172.

2. Карнаух Т.О. Відстані в синтаксичних просторах / Т.О. Карнаух // Вісник Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Серія: фізико-математичні науки. – 2012. – Вип. 2. – С. 134–139.

3. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функционального анализа. / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. – М.: Наука, 1976. – 544 с.