С. В. Распопов  Н. С. Николаенко  Ю. А.  Гурвич

Белорусский национальный технический университет

Исследование двух частичных случаев колебаний двух грузов

Аналитически решая дифференциальные уравнения движения,  получим  уравнения движения каждого груза в отдельности: грузы совершают гармонически колебания возле своих положений равновесия с разными амплитудами, причем более легкий груз колеблется с большей амплитудой независимо от того является он первым или вторым.  Проведем  исследования движения системы двух грузов, соединенных пружиной, как системы с двумя степенями свободы, при различных начальных условиях движения.

Рассмотрим первый случай:

                       x₁₀ =0; ₁₀=u₀ ;  x₂₀=l; ₂₀=0 при t=0

 Тогда из уравнений (4) и (5) с учетом этих условий получим C₁, C₂:

                                      ₁= - ; 

                                     ₁=-  + C₁;                                                 (4)

                                     ₁= -  + C₁t +C₂;                                        (5)          

                                    C₁=u₀;  C₂=

Уравнения (14) и (15) примут вид:

                           x₂=C₃coskt+C₄sinkt+ u₁t+l                                   (14.1)

                          x₁=- C₃coskt- C₄sinkt+ u₀t                                 (15.1)                             

Продифференцируем по времени (15.1)

                         = kC₃ sinkt -  kC₄ coskt + u₀                           (16)

Из (15.1) и (16) с учетом начальных условий груза 1 получим

                            C₃=0;              C₄=-          

Значения С₃ и С₄ можно также определить, проведя аналогичные действия с уравнением (14.1)

Тогда уравнение движения первого груза после преобразования примет вид:

                            x₁=- (m₁u₀t+ sinkt)                                            (17)

а уравнение движения второго груза:

                             x₂= (m₁u₀t- sinkt)+l                                                (18)                                    

Определим координату центра масс  С системы грузов:

                              = =                                                     

Где  т.е. координата центра масс при  t=0, когда первый груз находится в начале координат.  При последующем движении грузов центр масс системы будет перемещаться вдоль оси х со скоростью  

                                                                                                    (19)

Из формул (17),(18),(19) следует, что грузы будут совершать гармонические колебания по закону синуса относительно центра масс, который будет с течением времени удалятся от начального значения со скоростью, указанной выше, а движение грузов будет происходить в противоположных направлениях, т.е. грузы будут либо удаляться друг от друга, либо сближаться.

Рассмотрим второй случай:

                      x₁₀ =a; ₁₀=0;  x₂₀=l; ₂₀=l при t=0

 В этом случае из уравнений (4) и (5) следует:

                          C₁=0;  C₂=

 а уравнения (14) и (15) примут вид:

                         x₂=C₃coskt+C₄sinkt+ u₁t+l                                        (14.2)

                           x₁=- C₃coskt- C₄sinkt+ u₀t                                     (15.2)

Продифференцировав уравнение (15.2) по времени, с учетом принятых начальных условий движения и полученного в результате дифференцирования уравнения и уравнения(15.2) определим С3 , С4

                             = k C₃ sinkt -  k C₄ coskt

Тогда   С₄=0; C₃=-  учетом этого уравнения (14.2) и (15.2) грузов примут вид:

                             x₂=                                             (20)

                             x₁=                                                       (21)

Координата центра масс системы грузов в этом случае с учетом формул (20) и (21)

                            

т. е. в этом случае центр масс системы не будет перемещаться, а грузы будут совершать гармонические колебания по закону косинуса возле центра масс, причем они так же будут двигаться в противоположных направлениях, т.е. если координата x₁ увеличивается, то координата  x₂ будет уменьшаться. Таким образом, грузы будут либо сближаться, либо удаляться по отношению друг к другу.